Matemáticas y Geometría. Ejercicios.

El problema con el que Federico II retó a uno de los matemáticos más asombrosos de la Historia
El excéntrico emperador convocó un torneo matemático público para comprobar cómo se las arreglaba el genial Fibonacci
El gúgol y otras cantidades matemáticas gigantescas
Actualizado:17/06/2019 09:54h

Hace unas semanas hablábamos de uno de los certámenes que se celebran a lo largo de todo el mundo para detectar jóvenes con altas capacidades científicas y así poder orientarlos, si lo desean, con vistas a su futuro profesional. Como no dejan de ser chavales de corta edad, estos eventos suelen ir acompañados de otras actividades lúdicas y festivas, no sólo conferencias, pruebas, etc., de hecho, esas últimas suelen presentarse tipo concurso, juego, algo ameno en la medida de lo posible. Era Odisea de la Mente, y aparecía en la película «El pequeño Tate» (Jodie Foster, EE.UU., 1991). Se trata de un programa de educación internacional que promueve oportunidades para la resolución creativa de problemas para estudiantes desde educación infantil hasta universitaria. No es, sin embargo, un evento específicamente matemático sino más orientado a la ingeniería: los retos planteados van desde construir aparatos mecánicos hasta la presentación de su propia interpretación de los clásicos de la literatura. Como en las Olimpiadas matemáticas, primero compiten en su localidad, luego a nivel regional, después a nivel nacional y por último acceden a las finales mundiales. Aunque surgió hace cuatro décadas en los EE.UU. (fue creada por Samuel Micklus, profesor emérito de la Universidad de Rowan en New Jersey, en 1978), en la actualidad participan cerca de 25 países de todo el mundo (España no participa: las finales son en los EE. UU., y queda un poco lejos).

Sirva esta referencia (otras serían las Olimpiadas Matemáticas, o a otro nivel, el Canguro Matemático) como ejemplo de torneo matemático. Aunque creamos lo contrario, estas modalidades no son una ocurrencia actual. Retrocedamos al siglo XIII, a la corte del “peculiar” emperador del Sacro Imperio Romano Germánico, Federico II. Si echan un ojo a sus andanzas descubrirán un personaje tildado de excéntrico -de hecho se le apodó stupor mundi-que, según las crónicas, pasaba completamente de las ideas medievales predominantes, dominaba nueve lenguas y escribía en siete de ellas. Además, gustaba de la poesía, la filosofía, la astronomía, las matemáticas, la medicina y las ciencias naturales, algo que no encajaba en su época, bullidora en intrigas políticas y en meterse en guerras por conquistar territorios como fuera (lo mareaban para que organizara una nueva cruzada para recuperar los lugares sagrados). Cuando se puso a ello, tuvo fuertes desavenencias con el Papado, cuya forma de actuar consideraba el origen de muchos de los males del momento, motivo por lo que fue calificado incluso de Anticristo. Tuvo tiempo además para tener tres esposas, un montón de amantes, y una descendencia amplísima, entre hijos legítimos e ilegítimos. En fin, todo un personaje.

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En el año 1225, Federico II pasaba por la ciudad italiana de Pisa. Sabía que allí vivía un experto en cálculos apodado Fibonacci, y quiso conocerlo personalmente y, sobre todo, observar cómo se desenvolvía, si esa fama que lo precedía era o no justificada.

Ver esta entrada anterior del ABCdario). Si recuerdan la reseña que dediqué a Omar Khayyam, éste utilizaba argumentos geométricos para intentar resolver este tipo de ecuaciones, valiéndose de sus conocimientos de las curvas cónicas. Básicamente reducía la ecuación de grado a cambio de introducir una nueva ecuación (la de una cónica). Leonardo de Pisa, que tal era el nombre de Fibonacci, se apoyaba en lo que Euclides manifestó en el libro X de sus Elementos, prácticamente el único tratado de carácter matemático conocido universalmente en aquel momento. Retomemos la ecuación cúbica que comentamos allí

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y que se planteaba en la película que nombramos al inicio de estas líneas. La idea es empezar suponiendo que la ecuación tiene solución natural (los enteros negativos aún no se consideraban soluciones aceptables), si no la encontramos por simple tanteo, pasamos a suponer que es racional (es decir de la forma m/p, con m y p números naturales primos entre sí), y después sucesivamente con números de la forma

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y llegar, o bien a una contradicción, o bien, a una solución.

En realidad, con la ecuación ejemplo, Fibonacci llegaría rápidamente a una solución, ya que, aun no dándose cuenta de que x = 5 fuera una solución, si suponemos que es racional, o sea de la forma x = m/p, al sustituir se tiene que

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Es claro que la igualdad se verifica si m = 5p (lo que nos lleva a que m/p = 5, que es solución) o si m² + 10 mp + 8 p² = 0, ecuación de segundo grado cuyas soluciones resultan ser m = p (sqrt(17) – 5), m = – p (sqrt(17) + 5), es decir las otras dos raíces.

Sin embargo, para la ecuación que le plantearon a Fibonacci, no llegaríamos a ninguna parte. Veamos:

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Desde luego, solución entera no tiene, porque si sustituimos x por 1, obtenemos un número negativo, –7, y si lo hacemos por x = 2, nos da 16. Aunque el teorema de Bolzano no se había “descubierto” aún, ni la representación gráfica de una función, “parece” que la raíz tendrá que estar entre 1 y 2, siendo por tanto un número racional. Pero si hacemos lo mismo que en el caso anterior, la expresión a la que llegamos es

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Si esa expresión tuviera solución, el numerador tiene que ser múltiplo de p³ , y por tanto múltiplo de p. Como los dos últimos sumandos del numerador son múltiplos de p, para que el numerador entero sea múltiplo de p, también debe serlo m³ . Entonces m/p sería un número entero llegando a una contradicción con que era un número racional. A razonamientos similares llegamos con el resto de sustituciones. No es extraño ya que la solución es

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y las otras dos son complejas conjugadas. Fibonacci no llegó a esta solución, pero dio una aproximación en términos de fracciones sexagesimales

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La solución real en modo aproximado es 1.368808107826056, y la de esta fracción es 1.368807876371827, es decir, seis cifras correctas. Lo curioso es que no se conoce cómo llegó a tal solución. No debemos pues subestimar los conocimientos del pasado, ni siquiera del medievo.

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Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1503)
Leonardo de Pisa, Fibonacci, era ya mayor en esa época (en torno a los cincuenta años; Federico II apenas llegaba a la treintena), y su fama estaba justificada por la enorme difusión e influencia del Liber Abaci, el tratado sin duda más importante de toda la Edad Media, en el que introduce los número indo-arábigos en Europa. Como seguramente el lector conocerá, Fibonacci fue también responsable de la famosa sucesión que lleva su nombre (1, 1, 2, 3, 5, 8, …, cada número es suma de los dos anteriores) presente en muchos fenómenos de la Naturaleza.

Otros torneos muy populares en la Edad Media y el Renacimiento fueron los duelos entre algebristas (o algoristas) y abacistas. Son populares algunos grabados que así lo confirman, como la llamada Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1503) o los de Adam Riese, también del siglo XVI que servían como ilustraciones de los textos de aritmética.

Por cerrar otros frentes abiertos, la altura de Beatriz, en la cuestión propuesta en mi última entrada, era en efecto la C, 143 cm., y el razonamiento de los lectores, es correcto.

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Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.

Original y vídeo:
https://www.abc.es/ciencia/abci-pro...asombrosos-historia-201906170117_noticia.html
 
Sebastià Xambó, una vida en el árbol de las matemáticas
La Real Sociedad Matemática Española otorga la medalla 2019 al profesor emérito de la UPC para reconocer su trayectoria
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El profesor Sebastià Xambó en una pizarra de la Facultad de Matemáticas y Estadística esta semana (Kim Manresa)
DAVID DUSSTER, BARCELONA
29/06/2019 02:09
Actualizado a 29/06/2019 07:38


Los problemas matemáticos pueden tardar décadas o siglos en resolverse, como la hipótesis de Rieman, pero la solución, cuando se encuentra, es para siempre, a diferencia de lo que sucede en otras ciencias como la física, donde una teoría va evolucionando con el paso del tiempo. Esa exactitud provoca un gozo intelectual que, en palabras de Sebastià Xambó, profesor emérito de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), es la única recompensa que precisa el ejercicio del deber matemático.

Ese disfrute, la convicción de que las investigaciones matemáticas son intrínsecamente valiosas y que el lenguaje matemático es primordial para las ciencias e ingenierías son las motivaciones de una trayectoria, la de Sebastià Xambó, de 74 años, que ha sido reconocida esta semana con la entrega de las medallas 2019 de la RSME (Real Sociedad Matemática Española) junto a los catedráticos Marisa Fernández y Jesús María Sanz.

Xambó cree que en el mundo actual hay mucha más presencia de las matemáticas en la vida cotidiana

La visión pedagógica y divulgativa han sido esenciales en el recorrido de Sebastià Xambó, tanto desde la docencia universitaria como a través de iniciativas como el Árbol de las Matemáticas, una página web con biografías de las más destacadas eminencias que ha dirigido personalmente desde su creación en el 2014, o como en Imaginary, una exposición itinerante que transformó complejas fórmulas matemáticas en un limón, una manzana o un cruasán, y de la que fue comisario.

Experto en geometría algebraica y responsable del comité organizador del Congreso Europeo de Matemáticas que se celebró en Barcelona hace casi veinte años, Sebastiá Xambó confiesa su pasión por las matemáticas desde que estudió secundaria. gracias a la influencia de maestros y profesores pero sobre todo a que era “era una disciplina que ayudaba a comprender y que permitía resolver problemas”.

“La admiración por Gauss, Einstein y otros se había fraguado ya durante los dos últimos cursos del bachillerato en mi intento de comprender qué eran las geometrías no euclidianas y la relatividad y aquella admiración me ha acompañado toda la vida”, añade. Xambó encuentra tiempo para atender a La Vanguardia pese a que esta semana ha estado en Santander para participar en un seminario sobre Lluís Santaló (1911-2001), una de las mentes matemáticas más brillantes de Catalunya que tuvo que exiliarse con la guerra civil.

Los tiempos han cambiado mucho desde que comenzara su carrera de profesor titular en la Universitat de Barcelona en 1982. Más de tres décadas después, Xambó se declara todavía fascinado por “el enigma de porqué una construcción mental como las matemáticas, que algunos pueden considerar una evasión de la realidad, da la mejor cuenta de esa realidad”.

Expresidente de la Sociedad Catalana de Matemáticas, Xambó admite que en la actualidad asistimos a un boom espoleado por “el acceso rápido y dinámico a la información y la disponibilidad de potentes programas y máquinas de cálculo”, pero matiza que “el factor crítico sigue siendo el pensamiento creativo pues, para mentes geniales como la de Santaló, trabajar con la máquina de escribir no representó ninguna merma significativa a su admirable productividad”.

Sebastià Xambó cree que las matemáticas siempre han sido fundamentales en áreas como la astronomía, la mecánica o el electromagnetismo, pero que en el mundo actual “su presencia es más manifiesta en la vida cotidiana”. Ese mundo actual se reconoce por “la ubicuidad de los algoritmos y el hecho de que las matemáticas son la base para formularlos y para establecer su corrección”. Y eso se traduce en una mayor necesidad de un ejército de programadores.

Otro aspecto distintivo de la sociedad actual es la utilización y la recopilación de datos y su sustrato matemático. “La evolución científica y tecnológica muestra una tendencia hacia la abstracción, que es otra manera de decir hacia las matemáticas”, resume.

Pese a que a principios de este siglo fue uno de los interlocutores con las autoridades catalanas para reclamar más horas lectivas de matemáticas en la escuelas, Xambó desdeña la idea de que los jóvenes llegan a la universidad menos preparados en esa área precisamente porque no hay datos científicos que amparen esa afirmación, pero se siente optimista respecto a la juventud: “El discurso de que esto va cada vez peor se viene produciendo desde la más remota antigüedad”, dice para restarle importancia.

El profesor emérito tampoco cree que las matemáticas vayan a seguir siendo un dominio más masculino que femenino: “aquí también quiero expresar mi optimismo de cara al futuro. Sin negar la existencia de brechas importantes y de creencias negativas, me es imposible ver la influencia del factor género en la actividad matemática”.

https://www.lavanguardia.com/vida/2...la-real-sociedad-matematica-espanola-upc.html
 
La razonable efectividad de las matemáticas

publicado por Clara Grima y Enrique F. Borja

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En 1960, el físico y matemático húngaro Eugene Wigner, a la sazón premio Nobel de Física por sus contribuciones a la teoría de las partículas elementales, publica un famoso artículo que llevaba por título: «The unreasonable effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences», («La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales»).

En dicho artículo se presenta la maravilla, el milagro, de que la matemática, que se considera una creación propia de la mente humana sin ningún contacto con la realidad, sea tan efectiva a la hora de describir nuestros modelos y teorías en ramas tan dispares como la física, la química, la sociología o la economía. En palabras del propio Wigner:

The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.

(El milagro de la utilidad del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un maravilloso don que ni entendemos ni merecemos).

Ni que decir tiene que el artículo de marras produjo y sigue produciendo una miríada de trabajos y opiniones en uno y otro sentido, ya que, como se puede suponer, este punto de vista pone el acento en un problema fascinante. A saber, ¿cómo es que la matemática sirve para describir el universo si sale de las cabezas de unos monos sin pelo?

No es nuestra intención enmendarle la plana al bueno de Wigner, ni tan siquiera consideramos que estemos a su altura. Tampoco somos inmunes a ese sentimiento de maravilla y fascinación que se siente al descubrir cómo un puñado de ideas matemáticas son capaces de describir fenómenos que van desde el origen del universo hasta la propagación de epidemias en nuestro mundo. Sin embargo, si tomamos un poco de distancia y reflexionamos sobre qué es matemática y qué es física, la relación entre ambas se nos presenta meridianamente clara y natural. Elegimos la física por motivos personales, ya que uno de los autores ha invertido mucho tiempo en ella (y la otra autora es permisiva con esto), pero los argumentos que vamos a presentar son extrapolables a cualquier otro ámbito del conocimiento en el que las matemáticas jueguen un papel fundamental.

Para poder afrontar la discusión sobre la íntima relación entre matemática y física hemos de describir someramente qué es lo que entendemos por matemática. Esta puede parecer una cuestión extremadamente compleja y alambicada. Un tema exigente que requiere vastos conocimientos de este saber humano. Afortunadamente, no es el caso, porque la matemática es en esencia un juego, un juego maravilloso. Y fascinante.

En matemática se definen los elementos del juego, números, conjuntos, funciones, vectores o lo que sea. Luego se definen las relaciones definidas entre dichos elementos, es decir, cómo podemos operar entre esos elementos para encontrar elementos del mismo tipo o de otro tipo permitido. Es a partir de este momento donde el asunto se pone interesante. Todo lo que nos queda por hacer es encontrar todas las cosas que podemos formar con los elementos y las relaciones definidas de forma que podamos decir que son consistentes con las reglas del juego. Eso que los que hacen matemáticas llaman teoremas. Un teorema, por lo tanto, no es más que una afirmación hecha dentro de un ámbito de elementos bien definidos con reglas de relación entre ellos bien definidas que es cierta dentro de ese contexto.

Por ejemplo, desde el colegio se nos ha dicho que los tres ángulos de un triángulo suman 180º. Esa es una verdad absoluta, inmutable, un teorema. Pero lo cierto es que esa es una verdad solo y solo si nuestros triángulos son dibujados en un espacio plano donde se puede asegurar que por un punto exterior a una recta solo puede pasar una recta paralela a ella. Vamos, que es una afirmación que es absolutamente cierta en hojas de papel o espacios similares de más dimensiones, pero que basta dibujar triángulos sobre esferas, la superficie de una pelota, para ver como la suma de los tres ángulos de un triángulo es siempre mayor que 180º. Así que un teorema es una verdad absoluta siempre y cuando las condiciones del teorema sean aplicables.

Así, un teorema no es más que una afirmación de este tipo:

SEAN estos elementos definidos de esta manera y que se pueden relacionar de estos modos. SI hacemos tal y tal cosa permitidas por las reglas definidas, ENTONCES obtendremos tal cosa.

No entraremos aquí en las diferentes estructuras de los teoremas, lo que sí diremos es que un teorema ha de ser demostrable. Es decir, que siguiendo las reglas que nos hemos impuestos ha de ser cierto que de las condiciones del teorema se obtiene la afirmación final del mismo.

En otro orden de cosas, la matemática se entiende como un lenguaje. Los elementos definidos jugarían el papel de las palabras, las reglas definidas, el de las reglas gramaticales correspondientes y, por lo tanto, los teoremas serían las oraciones con sentido dentro de ese lenguaje. Ahora bien, la matemática tiene una característica que la diferencia de cualquier otro lenguaje humano. Sus palabras y sus oraciones no tienen significado asociado. ¿Qué queremos decir con eso?

Pensemos en esta sencilla afirmación matemática:

x+3=5

Desde el punto de vista matemático ahí hay mucho escondido. Para que eso tenga sentido se han tenido que definir los elementos, en este caso números naturales, y se han tenido que definir las relaciones entre ellos con sus propiedades y características. En este caso hemos debido de definir, al menos, la suma de números naturales. Por lo tanto, esa relación nos dice que hay un número de los que hemos definido y que no sabemos cuál es, representado por x, que sumado al número 3 nos da el número 5. Evidentemente, x=2 en este ejemplo tan simple. Pero lo que nos interesa apuntar aquí es que tan solo significa eso, nada más y nada menos.

Y es ahora cuando aparece uno de los aspectos de la magia de la matemática que tanto nos sobrecoge. Si estamos hablando de manzanas, esa expresión significará que dos manzanas más tres manzanas son un total de cinco manzanas. O tal vez estemos hablando de átomos, o de euros, o de niños, o de armarios. Da igual, a la matemática le da exactamente lo mismo el significado que le demos a los elementos de esa expresión, en ella los significados no son importantes, solo es relevante la consistencia de las relaciones.

Es por eso que una misma ecuación matemática la podamos encontrar describiendo el movimiento del polen en suspensión acuosa, el comportamiento de las moléculas de un gas o la evolución de ciertas acciones de la bolsa. Maravilloso, sin duda, pero totalmente razonable.

Aunque en este punto ya estemos clarificando nuestra postura ante el problema de la efectividad de las matemáticas, queda un aspecto fundamental. La cuestión que hemos de responder es cómo la matemática, que se puede considerar como un conjunto de elementos y relaciones entre ellos definidos a nuestro parecer, nos permite describir el comportamiento de sistemas físicos.

La razón también es asombrosamente simple y por ello hermosa y elegante. En física esperamos que, dados los mismos elementos, por ejemplo, cargas eléctricas, en las mismas condiciones siempre se comporten de la misma manera, se atraigan, se repelan, etc. Es decir, que en física tenemos elementos básicos y luego relaciones entre los mismos, y según las relaciones existentes se podrá dar tal o cual fenómeno. Es decir, la física busca regularidades en el universo. Pero ¿qué lenguaje humano es capaz de describir este tipo de situaciones? ¿Qué nos permite definir elementos que se relacionen siempre de la misma manera y que dichas relaciones determinen lo que es posible o no hacer con dichos elementos de forma consistente? La respuesta no será ninguna sorpresa, no es otra cosa que la matemática.

Una afirmación típica en física, y tomaremos un ejemplo de secundaria, es la siguiente:

Cualquier péndulo sometido a oscilaciones pequeñas siempre tarda lo mismo en completar una oscilación cuando está sometido a la misma intensidad de la gravedad y tiene la misma longitud de hilo, independientemente de su masa.

Desde el punto de vista de la física hemos encontrado una regularidad. Sin embargo, a poco que lo pensemos, eso que acabamos de enunciar tiene una pinta asombrosamente parecida a un teorema matemático. ¿Acaso nos puede sorprender que sea la matemática el lenguaje con el que hacemos física? La respuesta ha de ser un rotundo no. Pero hemos de aclarar que, aunque no sea una sorpresa, eso no le resta ni un ápice de poesía y de maravilla.

Para concluir esta reflexión hemos de hacer un comentario sobre un tema que nos parece importante. La relación entre física y matemáticas no es biunívoca, es decir, no hay una identificación entre una teoría física y una teoría matemática. Dicho de otro modo, una misma teoría física que se ocupa de determinados fenómenos suele estar bien descrita por diferentes formulaciones matemáticas. Por ejemplo, una de nuestras teorías físicas más populares, la mecánica cuántica, que también nos parece una cosa caída de los cielos y que atenta impúdicamente contra nuestro tan querido y maltrecho sentido común, se ocupa de los fenómenos más básicos de la física. La constitución de la materia, de qué están compuestos los átomos, cuál es la verdadera naturaleza de las interacciones físicas como el electromagnetismo u otras, el comportamiento de nuevos materiales, etc., todo está descrito gracias a la cuántica. Sin embargo, existen no menos de nueve formulaciones matemáticas diferentes de esa teoría física. Es decir, que como ya hemos dicho, a la matemática le da igual que la apliquemos a la cuántica o a cualquier otra cosa, de hecho, le da igual cuál de sus ramas apliquemos. El caso es que a veces encontramos que distintos conjuntos de elementos con distintas relaciones definidas entre ellos pueden dar cuenta de los mismos fenómenos. Eso, en contra del desperdicio que nos pudiera parecer en un principio, es otro regalo maravilloso porque a veces es más fácil aplicar un campo de las matemáticas que otro a un determinado problema. Lo fantástico es que se puede demostrar matemáticamente que dichas ramas son totalmente equivalentes unas a otras. Es decir, hay diccionarios matemáticos (se habla de relaciones entre teorías, categorías o functores) que demuestran que esas ramas dan resultados idénticos cuando se aplican a describir los mismos fenómenos físicos pero expresados de diferentes formas matemáticas.

Este último hecho nos permite aprovechar una gran batería de resultados y teorías matemáticas bien construidas a la hora de describir nuestro universo. La matemática nos otorga el don de la versatilidad y nos permite afrontar los problemas desde diferentes puntos de vista.

Puede que parezca que en este artículo solo se ha hablado en la dirección de que existe una matemática bien establecida que aplicamos al entendimiento de distintos fenómenos físicos. Sin embargo, a lo largo de la historia la física ha llevado a la matemática a sus límites, y no es un chiste, y ha causado que se hayan de buscar nuevas ramas de la matemática, o ha propiciado nuevos resultados matemáticos y nuevos teoremas en el transcurso de la investigación de un fenómeno físico. El ejemplo más manido es la invención del cálculo infinitesimal por parte de Newton para poder entender el movimiento de los cuerpos y las fuerzas, pero podríamos hacer una larga lista. Eso lo dejaremos para el futuro.

Ahora nos gustaría acabar estas líneas con la siguiente reflexión:

La física es matemática cuando esta se disfraza de universo.

https://www.jotdown.es/2019/07/la-razonable-efectividad-de-las-matematicas/
 
Una operación matemática, nuevo debate viral en las redes por su ambigüedad
La controversia pone de manifiesto asuntos pendientes a resolver en la computación, la programación y la informática
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La operación matemática que se ha hecho viral en las redes (Twitter)
REDACCIÓN
03/08/2019 14:07
Actualizado a 03/08/2019 15:20

Cada poco tiempo, las redes sociales nos sorprenden con un nuevo debate. Normalmente, superfluo. Sin embargo, esta vez podríamos estar hablando de algo importante. Podríamos estar hablando del futuro de las matemáticas y de lo que implican: computación, programación, informática...

La cuestión es que el pasado 28 de julio, Twitter se despertaba con una operación matemática: 8÷2(2+2). A primera vista simple, ¿verdad?


em ♥︎@pjmdolI

https://twitter.com/pjmdolI/status/1155598050959745026

oomfies solve this



14,6 mil

23:56 - 28 jul. 2019
Información y privacidad de Twitter Ads

19,7 mil personas están hablando de esto



Los internautas respondieron. La respuesta era 16. Es el resultado de resolver primero el paréntesis, 2+2. Así, nos queda la siguiente operación: 8÷2×4. Si avanzamos de izquierda a derecha, primero haremos la división, 8 entre 2. 4, otra vez. Ahora ya solo queda multiplicar: 4×4. La respuesta, 16.

Esto es lo que mucha gente pensó. Es lo que pensaríamos en España, pues es el método que nos enseñan los profesores. Pero, ¿habría otra forma de resolverlo? La mitad de Twitter piensa que sí.

Tras resolver el paréntesis y llegar a 8÷2×4, hay quien se plantea qué tendría la prioridad: ¿La división o la multiplicación? Antes habíamos dado la prioridad a la división, que se encontraba más a la izquierda. Pero la multiplicación, al estar junto a un número en paréntesis, podría ser la operación prioritaria. Así, si obtenemos el producto de 2×4 alcanzamos el siguiente escalón: 8÷8. En este caso, la respuesta es 1.

PEMDAS y BODMAS
En Estados Unidos se enseñan dos métodos diferentes para resolver operaciones

Según la convención estándar, la operación se debería resolver de la primera manera. Es decir, la respuesta correcta sería 16. Pero también es verdad que en algunos lugares del mundo, como en Estados Unidos, hay profesores que llegan a confundir a sus alumnos con los métodos de aprendizaje. Es decir, los maestros enseñan dos órdenes diferentes a seguir: PEMDAS y BODMAS.

PEMDAS es la abreviación de ‘Paréntesis’, ‘Exponentes’, ‘Multiplicación’, ‘División’, ‘Suma’ (addition, en inglés) y ‘Resta’ (substraction). Sería el orden mediante el cual obtendríamos 16.

BODMAS es la abreviación de ‘Paréntesis’ (brackets, en inglés), ‘Orden’ (potencias y raíces), ‘División’, ‘Multiplicación’, ‘Suma’ y ‘Resta’. Sería el orden mediante el cual obtendríamos 1.

Opinión de un matemático
Es esencial que todos los que escriben ‘software’ conozcan las reglas

Entonces, he aquí la cuestión importante del asunto. Tal y como reflexiona un matemático en The New York Times , es importante que todo el mundo siga las mismas convenciones. Lo compara con la conducción: en España, todo el mundo conduce por la derecha; en Reino Unido, por la izquierda. Mientras todo el mundo haga caso a la convención del lugar en que se encuentre, todo irá bien. Pero en un mundo globalizado como el de hoy, debería alcanzarse una convención mundial.

El matemático autor del artículo asegura que “es esencial que todos los que escriben software para computadoras, hojas de cálculo y calculadoras conozcan las reglas para el orden de las operaciones y las sigan”. Esto es importante, pues en Twitter aparecieron comentarios mostrando imágenes de diferentes calculadoras que ofrecían diferentes resultados a la operación en cuestión. “Se debería enseñar a todos los jóvenes cómo escribir expresiones matemáticas inequívocas, y todo esto desaparecería”, concluye el profesor.

https://www.lavanguardia.com/vida/2...peracion-matematica-debate-viral-twitter.html
 
Tito El Gatito - Suma y Resta.

Corto Animado creado para la clase de Television Educativa. El programa esta dirigido al publico preescolar en el ramo de matematicas. Espero que les guste


 
LOS ESPACIOS HETEROGÉNEOS
Un matemático ha ganado 3 millones de dólares por su "teorema de la varita mágica"
Alex Eskin ha marcado un antes y un después con una teoría que podrá aplicarse a distintos subcampos y que lleva años estudiando




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Foto: iStock.


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ADA NUÑO
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10/09/2019



Imagina una habitación totalmente cubierta de espejos, cuyos ángulos siempre sean números enteros, ¿la tienes? Bien, ahora coloca una vela justo en el centro de la misma. Gracias a ello, será posible ver la estancia por completo iluminada, sin un solo rincón oscuro. ¿Te parece sencillo? Pues felicidades, porque has entendido 'El teorema de la varita mágica', con el que el matemático Alex Eskin, de la Universidad de Chicago, en colaboración con Maryam Mirzakhani, de Stanford, ha ganado el premio millonario Breakthrough. Por si te lo estabas preguntando, la varita es la vela.

Los premios Breakthrough fueron fundados en 2013 y son el ejemplo de que, aunque la investigación no es tan agradecida (no solo en España) como, por ejemplo, la interpretación, en ocasiones los científicos pueden obtener reconocimiento por su trabajo y ya de paso generosas sumas de dinero. En concreto: tres millones de dólares. Se otorgan cada año a investigadores en matemáticas, física fundamental y ciencias de la vida, y son los ganadores del año anterior los que deciden quién obtendrá el premio en cada una de estas categorías.

Los teoremas de Ratner manejaban varios espacios homogéneos, él ha tratado de aplicar estas ideas a espacios donde no todos los puntos son iguales

¿Quién es Eskin? Se trata de un matemático nacionalizado estadounidense, de 54 años, aunque nacido en Moscú. Mirzhakani, por su parte, fue una matemática iraní y profesora en la Universidad de Stanford, y la primera mujer que recibió la Medalle Fields o Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas desde que este premio comenzara a otorgarse, en 1936. Se concede cada cuatro años y ella fue galardonada en 2014, desde entonces ninguna otra fémina la ha acompañado en el podio. Desgraciadamente, falleció en 2017 debido a un cáncer, a los 40 años, pero su memoria quedará para las futuras generaciones.

Ambos colaboraron en varias teorías, pero la resolución del Teorema de la varita mágica es algo que obsesiona a Eskin desde que era un estudiante. Por aquel entonces, comenzó a realizar investigaciones relacionadas con una serie de pruebas conocidas como teoremas de Ratner, que la matemática Marina Ratner demostró a principios de la década de los 90 (ella, casualmente, falleció solo una semana antes que Mirzakhani, a los 78 años, y fue profesora en laUniversidad de Berkeley en California).

Una obsesión de toda una vida
Los teoremas de Ratner trataban con espacios homogéneos: "Donde cada punto es como cualquier otro, como si hablásemos de la superficie de una esfera", explicó Eskin, según informa 'Live Science'. Se preguntó si las ideas de Ratner podrían llevarse a espacios de módulos, donde no todos los puntos son iguales. "El Teorema es útil en varias áreas de las matemáticas, la idea de la varita es solo una metáfora, no se trata de un objeto físico real. Es solo un ejemplo para que el gran público pueda entenderlo. Engloba un subcampo muy difícil y me llevó horas explicárselo a los responsables del concurso, doctores en matemáticas que trabajan en distintas áreas". La analogía no podría ser más acertada, aborda distintos subcampos y los resuelve con un mismo sistema, como si de una varita mágica se tratara.

Llevaba obsesionado con los teoremas de Ratner mucho tiempo, pero tuvieron que pasar varios años hasta que finalmente pudiera hacer unprogreso significativo. "Fue cuando conocí a Maryan Mirzakhani. Ella era más joven que yo e investigaba en Princeton, descubrimos que teníamos intereses similares y comenzamos a colaborar, hasta que el proyecto fue haciéndose más ambicioso". No obstante, aún tardaron bastante tiempo en intuir una resolución para el problema que les ha dado la victoria. Él lo comparó con subir una montaña y quedarse estancado en un punto, hasta que un artículo de 2009 de los matemáticos franceses Yves Benoist y Jean-François Quint aportó un poco de luz. "Trataba un ámbito diferente de las matemáticas, pero nos ayudó a dar un nuevo enfoque y a seguir escalando. Estábamos en un barranco, pero teníamos material suficiente para construir un puente sobre él".

El teorema ha marcado un antes y un después. Aborda distintos subcampos y los resuelve con un mismo sistema, como una varita mágica

Al igual que los ganadores anteriores, tiene la intención de donar una suma significativa, pero no tiene ni la más mínima idea de qué hará con el resto del dinero. Solo sabe que su teoría ha marcado un antes y un después en el mundo de las matemáticas. "Es muy frustrante trabajar en este ámbito", explicó, "durante mucho tiempo no progresas. De repente has pasado cinco años enfocado en tu proyecto y no sabes si va a funcionar o no, llevas una gran parte de tu vida invirtiendo en ello y siempre hay una posibilidad de que salgas sin nada... Se necesita mucha estabilidad emocional para poder continuar", concluyó.

https://www.elconfidencial.com/alma...s-teorema-dinero-prueba-varita-magia_2216459/


 
La melodía de una hipótesis
El sueño pitagórico que acompaña a la ciencia se presenta en nuestros días cada vez que surge la polémica en torno a la Teoría de Cuerdas

MONTERO GLEZ

23 ENE 2020


michio kaku


Michio Kaku, en un congreso celebrado en Barcelona. ALBERT GARCÍA



En algún sitio dejó dicho Leibniz que la música es un ejercicio oculto de aritmética. Pero el pensador alemán no fue el único en percibir la relación.


Al parecer, fueron Pitágoras y sus seguidores los primeros en manejar las claves matemáticas que subyacen en la música. Para ellos, ciencia y música no se podían entender por separado, y explicaron ambas desde su misma esencia: el número y su relación con el universo.

Hasta el siglo VI antes de Cristo, el ejercicio de aritmética permanecía oculto bajo la sucesión de notas, de igual forma que permanece oculto en cada partícula de realidad que nos rodea. Los pitagóricos desvelaron el secreto al descubrir que las leyes armónicas del universo están contenidas en la cuerda de una lira. El número y su conjugación ritual fueron asuntos esenciales a la hora de percibir la melodía perpetua que nos envuelve y que se vino a llamar la música de las esferas.

A mediados del siglo VI a. C. -según la lista contenida en el catálogo de pitagóricos elaborado por Jámblico- la escuela pitagórica estaba compuesta por 224 hombres y 18 mujeres entre las que se encontraba Téano, primera matemática de la Historia. Eran personas de ciencia que se adentraban en la mística sin perder de vista la materia. Una secta hermética sobre la que circulan muchas leyendas; una de ellas es la del oscuro final de Hipaso de Metaponto, que acabó ahogado por desvelar el secreto de los números irracionales. En otra ocasión hablaremos del suceso, ahora sigamos con la escuela pitagórica en su lectura actual.

Porque el sueño pitagórico que acompaña a la ciencia se presenta en nuestros días cada vez que surge la polémica en torno a la Teoría de Cuerdas y su última encarnación, la Teoría M; una hipótesis arriesgada que vendría a ser el eslabón perdido entre la relatividad general y la teoría cuántica, consiguiendo que dos tesis opuestas -por ser una teoría de lo grande y otra teoría de lo más pequeño- formasen un “todo”. Ya dijimos que es una teoría que se nos presenta como nueva pero, en esencia, es tan antigua como el mundo que contemplaron los pitagóricos.

Uno de sus defensores, el físico Michio Kaku la explica de manera sencilla y elegante en su libro titulado Universos paralelos (Atalanta); lo más parecido a un viaje interestelar a través de la historia del universo y donde Kaku conecta lo más grande (Big bang, agujeros negros,) con lo más pequeño (electrón, quarks).

Michio Kaku es físico especialista en teoría de cuerdas. Su fama bestsellera y sus constantes apariciones en programas de radio y televisión, han convertido al físico en una especie de friki a ojos de la comunidad científica. En el libro que aquí nos trae, se nos muestra como defensor de la teoría de cuerdas y de la teoría M, y nos explica que ambas teorías se basan en que la infinidad de partículas que forman el universo es similar a las notas que pueden tocarse en la cuerda de una lira.

Según cuenta, si pudiéramos ver un electrón, sería lo más parecido a una pequeña cuerda vibrante que oscila a diferentes frecuencias y resonancias. Pero lo curioso es que, cada vez que procedemos a tocarla, va cambiando de forma y de tamaño. Como si se tratase de diferentes notas, el electrón se convierte en un quark que, pulsado de nuevo, pasa a neutrino.

Lo que quiere decir que, si las notas musicales son partículas subatómicas, las leyes armónicas entrarían dentro del ámbito de la física. Por otro lado, la química se correspondería con la melodía de un universo que es igual a una sinfonía de cuerdas que resuena desde tiempos antiguos, mucho antes de que Leibniz definiese la música como el placer que experimenta la mente humana al contar sin darse cuenta de que está contando.

El hacha de piedra es una sección donde Montero Glez, con voluntad de prosa, ejerce su asedio particular a la realidad científica para manifestar que ciencia y arte son formas complementarias de conocimiento.

 
Gazapos matemáticos
Los conejos de Fibonacci y el conejo blanco de Carroll no son los únicos “gazapos” relacionados con las matemáticas



El conejo blanco, según una ilustración de John Tenniel en 'Alicia en el país de las maravillas'.


El conejo blanco, según una ilustración de John Tenniel en 'Alicia en el país de las maravillas'.WIKIMEDIA COMMONS


CARLO FRABETTI

14 MAR 2020

En el homenaje a Raymond Queneau del que hablábamos la semana pasada, hay una gaffe monumental nada menos que en el título del libro. Porque si para cada verso hay 10 posibilidades y el soneto consta de 14 versos, el número total de combinaciones posibles es 10 elevado a 14, o sea, cien billones (un 1 seguido de 14 ceros). El título del libro de Queneau homenajeado es Cent mille millards de poèmes, y de ahí probablemente la confusión. “Millardo” (mil millones) es un término muy poco usado en castellano, y sin embargo es de uso común en francés y en italiano. ¿Por qué? Pista: hay una explicación, en la historia reciente de Francia e Italia, de por qué que en estos países “millardo” es un término coloquial, y no así en España.

Por cierto, el libro de Queneau es fascinante y muy divertido como juguete matemático-literario, pero no es recomendable leerlo entero: dedicándole alrededor de medio minuto a cada soneto, se tardaría unos cien millones de años en leerlos todos.

Otro factor que induce a menudo a error en relación con los números grandes (los que significativamente terminan en “on”), es que en Estados Unidos billion no equivale a billón, sino a mil millones. En cualquier caso, el nivel de “anaritmetismo” habitual entre periodistas, editores y gentes de letras en general es realmente escandaloso. Invito a mis sagaces lectoras/es a cazar y compartir otros gazapos matemáticos en la literatura, el cine y los medios en general.

En cuanto al sonatrón, el cálculo es sencillo: en cada verso tenemos 4 posibilidades: leer solo el primer hemistiquio, solo el segundo, los dos en el orden en que vienen o los dos en orden inverso; y como hay 16 versos, el número total de sonatinas distintas es 4 elevado a 16, más de cuatro mil millones. Un número estrechamente relacionado con el famoso cuento de los granos de trigo y el tablero de ajedrez; ¿por qué? Y sin necesidad de calcularlo, ¿podemos saber cuáles serán las dos últimas cifras de ese número?


Cuadrados perfectos
Tras el precalentamiento de los problemillas anteriores, bastante fáciles, un hueso duro de roer que me ha enviado mi joven amigo Pau, un brillante estudiante de física al que le debo más de una noche de insomnio:
Demostrar que si a² + b² es divisible por ab + 1, el cociente es un cuadrado perfecto.
Y otros dos de cuadrados perfectos, más sencillos, donde Diofanto se encuentra con Pitágoras:
¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo de lados 3, 4 y 5?
Y pasando de lo particular a lo general:
Demostrar que el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de lados enteros es también entero.
Por segmentos enteros se entiende aquellos cuya medida se expresa mediante un número natural; en términos estrictamente geométricos, todos los segmentos son -o están- “enteros”.


Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

 
El premio Abel reconoce a dos pioneros de la interacción entre probabilidad y álgebra
Hillel Furstenberg y Gregory Margulis reciben el máximo reconocimiento a toda una carrera de la disciplina



YAGO ANTOLÍN|TALIA FERNÓS
24 MAR 2020


Camino aleatorio con 2500 pasos.


Camino aleatorio con 2500 pasos.



Los matemáticos Hillel Furstenbergy Gregory Margulis han sido los ganadores del premio Abel 2020. Se les concede “por ser pioneros en el uso de métodos probabilísticos y dinámicos en las áreas de teoría de grupos, teoría de números y combinatoria.” Lo cierto es que Furstenberg y Margulis nunca han trabajado juntos; es más, ni han vivido en el mismo continente simultáneamente.

Margulis (1946, Moscú) trabajó toda su juventud bastante aislado del resto de la comunidad matemática, víctima de la discriminación que ejercía la Unión Soviética sobre los judíos en esos tiempos. La situación llegó al extremo cuando, en 1978, la Unión Matemática Internacional le concedió la medalla Fields y el Gobierno no le concedió un visado para ir a Helsinki y aceptarla en persona.

Furstenberg también es judío, de hecho es el primer israelí que recibe el premio Abel. Nació en Berlín en 1935, en medio de la ocupación nazi, pero con solo tres años, después de la Noche de los Cristales Rotos, huyó con su familia a los Estados Unidos, donde desarrolló los primeros años de su carrera.

Furstenberg y Margulis, de manera independiente, utilizaron ideas y técnicas probabilísticas similares para estudiar el mismo tipo de objetos matemáticos. No es la primera vez, ni será la última, que varios investigadores descubren el poder de las mismas ideas de manera paralela y en el mismo periodo de tiempo. Quizás el ejemplo más famoso es el del cálculo diferencial, desarrollado simultáneamente en Inglaterra por Isaac Newton y en Alemania por Gottfried Leibniz. A diferencia de aquella agria disputa, es bonito y justo que el premio Abel de este año haga un reconocimiento compartido a dos personas que contribuyeron a desarrollar la matemática con el mismo tipo de ideas revolucionarias.

Las técnicas que Margulis introdujo en su demostración siguen siendo muy importantes hoy en día. Y, sorprendentemente, permitieron descubrir nuevas e importantes propiedades de los grupos de matrices

Uno de los teoremas más famosos de Furstenberg trata sobre los caminos aleatorios en grupos infinitos de matrices. Para entender la noción de camino aleatorio, imaginemos que tenemos un dado (equilibrado) de cuatro caras y un papel cuadriculado (de dimensión 2), infinito. Cada una de las caras del dado representa un movimiento: hacia arriba, abajo, izquierda o derecha. Empezamos en un cuadrado de la libreta, y seguimos el movimiento que van marcando los sucesivos lanzamientos del dado. El resultado es un camino aleatorio.

El matemático George Polya ya sabía, en los años 1930, que un camino así volvería al punto inicial un número infinito de veces, con un 100% de probabilidades. Sin duda, es posible (aunque improbable) que los lanzamientos del dado dicten que la marcha vaya a la derecha para siempre. Esto no contradice la conclusión de Polya, pues si consideramos todos los caminos, es decir todas las posibilidades de movimientos con el mismo punto inicial, la probabilidad de que uno regrese al punto inicial (un número finito de veces) es 0. Polya también sabía que, sin embargo, si repetimos el mismo experimento en una cuadrícula de dimensión 3, la probabilidad de volver al punto inicial un número infinito de veces es 0. Así, el camino aleatorio es capaz de detectar la diferencia entre dimensión 2 y 3.



Imagen fija de los caminos aleatorios.


Imagen fija de los caminos aleatorios.



Furstenberg consideró estos caminos aleatorios no en una cuadrícula, sino en espacios de matrices. La idea es parecida: tomamos un conjunto finito de matrices, por ejemplo, seis matrices A,B,C,D,E, F; y un dado de seis caras, en cuyas caras están escritas la letras A,B,C,D,E,F. Así vamos lanzando el dado y multiplicando matrices de la siguiente manera: por cada lanzamiento multiplicamos la matriz que dicta el dado (a la izquierda) del producto acumulado de las matrices anteriores. Aquí es muy importante el orden, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Como el producto de matrices es de nuevo un matriz, de esta forma, los lanzamientos dan una secuencia de matrices, lo que configura un camino aleatorio dentro del espacio de matrices. Furstenberg estudió su avance y comprobó que, a diferencia de lo que sucedía en la cuadrícula, los caminos aleatorios siempre se alejan y llegan a una frontera asociada a ese conjunto finito de matrices: lafrontera Furstenberg-Poisson.

Por su parte, uno de los teoremas más conocidos de Margulis describe la súper-rigidez de retículos de matrices. Es un resultado de la zoología de los llamados grupos de Lie, que demuestra que cualquier grupo está esencialmente determinado por su esqueleto. Las técnicas que Margulis introdujo en su demostración siguen siendo muy importantes hoy en día. Y, sorprendentemente, permitieron descubrir nuevas e importantes propiedades de los grupos de matrices.

No es la primera vez, ni será la última, que varios investigadores descubren el poder de las mismas ideas de manera paralela y en el mismo periodo de tiempo

Una propiedad de grupos que Margulis utilizó mucho en sus trabajos sobre grupos es la llamada propiedad (T). En 1973, la empleó para ofrecer una construcción explícita de grafos expanders. Un grafo expander es una secuencia de grafos finitos que son uniformemente eficientes y robustos. Imaginemos que una empresa quiere conectar 100 ordenadores entre sí. Lo ideal sería que cada ordenador esté solamente conectado con otros pocos terminales; pero que además sea muy difícil desconectar todo el sistema, es decir, que no haya dos partes grandes separadas por pocas conexiones. Si lo conseguimos, el resultado sería un grafo eficiente (es la primera propiedad indicada) y robusto (la segunda).

El matemático George Polya ya sabía, en los años 1930, que un camino así volvería al punto inicial un número infinito de veces, con un 100% de probabilidades

Antes del trabajo de Margulis, se sabía que si se conectan los vértices de un grafo de forma aleatoria el resultado será eficiente y robusto, con una probabilidad que tiende a 1, cuando el número de vértices crece al infinito. Es decir, la empresa podría conectar los ordenadores al azar y comprobar si ha tenido suerte. Pero probar con todas las combinaciones, solo de 100 ordenadores, requiere cálculos de magnitudes astronómicas. La construcción explícita de Margulis te dice exactamente cómo hacerlo.

Tanto las matemáticas de Furstenberg como las de Margulis utilizan ideas de áreas diferentes y de formas muy sorprendentes para concluir sus teoremas. Leer sus pruebas es como ver una película de suspense, con sorpresas y conexiones inesperadas en cada página.

Yago Antolín es profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT

Talia Fernós es profesora de la Universidad de Carolina del Norte en Greensboro (EE UU).


Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)


 
Figuras planas, líneas y cuerpos geométricos para niños - Geometría para niños

Vídeo educativo para niños con el que aprenderán geometría, tanto las figuras planas, como los cuerpos geométricos y las líneas, a través de numerosos ejemplos muy divertidos. Es una recopilación de varios vídeos de la colección de geometría para niños, en la que aprenderán


 
Métodos infinitos para resolver problemas de carácter finito
Generalizaciones de la dicotomía entre lo finito y lo infinito permiten demostrar fácilmente resultados inesperados en muchas áreas de las matemáticas


ELÍAS BARO GONZÁLEZ, AMADOR MARTÍN PIZARRO Y DANIEL PALACÍN CRUZ
01 ABR 2020




El principio del palomar, uno de los principios más fundamentales en matemáticas.


El principio del palomar, uno de los principios más fundamentales en matemáticas.


El principio del palomar, uno de los principios más fundamentales en matemáticas, afirma lo siguiente: si distribuimos una cantidad infinita de bolas en una colección finita de cajas, hay una caja que contiene una infinidad de bolas. Para comprobar esta afirmación, solo usamos dos adjetivos: finito es “pequeño” e infinito es “grande”, así como una propiedad: un conjunto grande no puede ser unión finita de conjuntos pequeños. Hay versiones del principio del palomar en el caso finito, que implican heurísticamente que habrá varias personas en el mismo barrio de la misma ciudad con la polémica cazadora amarilla. Para ser más precisos, para que en una ciudad con diez barrios, haya al menos tres personas en el mismo barrio con la misma prenda, basta haber vendido al menos (3-1)*10+1=21 cazadoras. Sin embargo, para dar con este valor hay que pensar más que en el caso de la dicotomía finito-infinito.
La dicotomía previa finito-infinito permite tratar problemas en muchos ámbitos de las matemáticas. Un ejemplo clásico, de enunciado elemental y fácil, pero cuya solución dista de serlo, es el siguiente: si pintamos los números naturales con dos colores, por ejemplo rojo y verde (sin tendencias políticas ocultas), el principio del palomar implica que hay una cantidad infinita de números del mismo color. Sin embargo, ¿podemos encontrar un conjunto infinito de números del mismo color tal que toda suma de los mismos también tendrá ese color? Una respuesta afirmativa implica la existencia de un triángulo monocromático de la forma (x, y, x+y), que el matemático ruso Issai Schur ya demostró en 1916.



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Neil Hindman proporcionó en 1974 una respuesta afirmativa al problema anterior en lo que hoy se conoce como el teorema de Hindman. Su demostración, aunque usa técnicas elementales, es especialmente enrevesada. En el otoño de 1975 Frederick Galvin y Steven Glazerproporcionaron una nueva demostración elegante y sucinta, estableciendo una conexión inesperada. Recurrieron al uso de un objeto matemático llamado ultrafiltro, el cual se apoya precisamente en la dicotomía pequeño-grande.

Un ultrafiltro es, esencialmente, una clasificación de todo subconjunto de los números naturales en dos categorías, “grandes” y “pequeños”, de tal forma que la unión de dos subconjuntos “pequeños” cualesquiera no sea “grande”. Se captura así la propiedad previa del principio del palomar. Ultrafiltros hay muchos; por ejemplo, obtenemos uno si denotamos un subconjunto como “grande” cuando contiene el número 42, y “pequeño” todo aquel que no lo contenga. Un pequeño inciso para el lector versado: como un ultrafiltro es una medida de probabilidad finitamente aditiva con valores posibles 0 y 1, el ultrafiltro prevío es una Delta de Dirac concentrada en el punto 42. Con este ultrafiltro muchos conjuntos finitos son ahora “grandes”. Encontrar ultrafiltros que solo seleccionen como “grandes” conjuntos infinitos es menos obvio y mucho más interesante, puesto que su existencia se sigue del esotérico axioma de elección, que tantos recelos causa a ciertos matemáticos.

En la demostración de Galvin y Glazer, demuestran la existencia de un ultrafiltro con la propiedad siguiente: si clasifica un conjunto A como “grande”, entonces A contiene un subconjunto infinito B tal que toda suma de números en B está en A. Con ese ultrafiltro, el teorema queda demostrado: o bien los números rojos o bien los verdes forman un conjunto “grande”, y así se obtiene el conjunto monocromático con la propiedad de Hindman.

Esta demostración del teorema de Hindman es un mero ejemplo del uso de ultrafiltros en matemáticas. De hecho, los ultrafiltros permiten resolver sin dolores de cabeza una plétora de resultados algebraicos, combinatorios y particularmente en teoría de modelos, gracias al célebre teorema del polaco Jerzy Łoś (su apellido se pronuncia como la palabra inglesa wash). El mismo Hindman reconoció públicamente que no hay mejor castigo que leer su demostración original, y aboga desde entonces con fervor por el uso de los ultrafiltros en las matemáticas. Los autores de esta columna, así como muchos matemáticos de gran nivel, comparten la convicción de Hindman sobre la utilidad de los ultrafiltros como herramienta matemática.

Elías Baro González es contratado doctor en la Universidad Complutense de Madrid.

Amador Martín Pizarro es profesor en la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania).

Daniel Palacín Cruz es ayudante doctor en la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania).


Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).


 
Disfrutar de las matemáticas en ‘streaming’
Plataformas como Youtube y Netflix ofrecen una gran variedad de contenidos para aprender de forma diferente



El matemático Eduardo Sáenz de Cabezón, durante uno de sus monólogos.


El matemático Eduardo Sáenz de Cabezón, durante uno de sus monólogos.FECYT



JAVIER ARAMAYONA|DAVID MARTÍN DE DIEGO|ÁGATA A. TIMÓN
27 ABR 2020



¿Os habéis quedado sin ideas de qué ver en Netflix? ¿Estáis perdidos en el mar de opciones que ofrece YouTube? Estas dos plataformas contienen verdaderas joyas matemáticas, accesibles para todos los públicos. No son un sustituto de la actividad docente online propuesta –con gran esfuerzo– por el profesorado de matemáticas, pero aportan una aproximación diferente, lúdica y de entretenimiento, a la materia.

Empezamos recomendando el canal Derivando -en YouTube- de nuestro colega Eduardo Sáez de Cabezón. Con casi un millón de suscriptores, este matemático hace uso de su experiencia como cuentacuentos para narrar de forma atractiva e informal curiosidades matemáticas, siguiendo el estilo youtuber clásico: planos cortos en los que habla a cámara, con alguna sencilla infografía añadida a la imagen. En su canal podemos ver videos sobre cuestiones matemáticas de la vida cotidiana, por ejemplo, cómo hacer una encuesta confidencial o las matemáticas del Bitcoin; o sobre grandes problemas abiertos en investigación, como la hipótesis de Riemann; o sobre objetos matemáticos como las matrices, los números de Catalán o la máquina de Turing. Él dice que lo que mejor funciona son las respuestas a preguntas matemáticas concretas (¿Cuánto es cero elevado a cero? o ¿existe el factorial de cero?), esos contenidos que pueden ser compartidos en una telecena de amigos, o para sorprender a nuestra compañía en el confinamiento.

‘The Code’ muestra patrones numéricos (en el primer episodio) y geométricos (segundo) escondidos en el mundo físico


Uno de los grandes divulgadores de las matemáticas de la actualidad, Marcus du Sautoy, catedrático de la Universidad de Oxford, colaborador de medios como The Guardian y autor de varios bestsellers de matemáticas pop, estrenó en 2012 The Code en la BBC Two, que desde 2016 también está disponible en Netflix. De estética oscura y tono misterioso, esta mini serie de tres capítulos muestra patrones numéricos (en el primer episodio) y geométricos (segundo) escondidos en el mundo físico, que hacen de las matemáticas una gran herramienta para explicar el mundo y poder predecir fenómenos futuros (de lo que habla en el tercer capítulo). Igualmente apasionante es The Story of Maths, producido por la BBC y disponible en Dailymotion, en la que el autor hace un recorrido por el desarrollo de las matemáticas a lo largo de la historia. Finalmente, en el documental The Music of the Primes, disponible en YouTube, Du Sautoy nos propone una excursión fascinante por el universo de los números primos.

Siguiendo con grandes científicos, también podemos escuchar al mediático medallista Fields (2010) Cédric Villani hablar de su proceso creativo en YouTube. Aprovechamos para mencionar el canal en el que está este último vídeo, el de la Royal Institution, donde podemos encontrar las conferencias públicas, no solo de matemáticas, que acoge la histórica institución inglesa. Otro canal generalista que contiene decenas de perlas matemáticas es el de las charlas Ted. En el formato habitual de 15 minutos podemos escuchar a Hannah Fry hablando de las matemáticas del amor o a Jim Simons hablando de su experiencia en Wall Street.

Por otro lado, la Sociedad Matemática Americana (AMS) también incluye en su web las grabaciones de su serie de conferencias The AMS Einstein Public Lecture in Mathematics. Desde 2010 están disponibles las charlas, impartidas por grandes matemáticos como Terence Tao (medallista Fields (2006), de la Universidad de California en Los Ángeles) o Edward Frenkel (Universidad de California en Berkeley).

El Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford también tiene un canal con vídeos de conferencias dirigidas a público general y sobre temas tan apasionantes como la modelización de enfermedades infecciosas, matemáticas para entender el cerebro o la economía


El Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford también tiene un canal de YouTube interesante donde incluyen vídeos de conferencias que ha albergado el centro, dirigidas a público general y sobre temas tan apasionantes como la modelización de enfermedades infecciosas, matemáticas para entender el cerebro o la economía. Los presentan grandes oradores como Alex Bellos, Marcus du Sautoy, Michael Atiyah. No os perdáis la charla de Andrew Wiles, matemático que resolvió la conjetura de Fermat, con una entrevista final de Hannah Fry. Desde el ICMAT os recomendamos Dancing Vortices, de Étienne Ghys, en el que además menciona a dos investigadores de nuestro instituto.

Otra sugerencia que no queríamos dejar de mencionar es la colección de videos un tanto viejunos, pero muy chulos, producidos The Geometry Center. Este centro, fundado a finales de los ochenta por Al Marden, de la Universidad de Minnesota, fue uno de los pioneros en el uso de los ordenadores para la visualización de las matemáticas, y produjo algunos vídeos fascinantes, que muestran cómo“darle la vuelta” a una esfera sin romperla, cómo visualizar el espacio hiperbólico, o cuáles son las posibles formas para un universo de tres dimensiones.

Esperamos que con toda esta lista de propuestas tengáis, por lo menos, hasta que termine el confinamiento. Aprovechemos la oportunidad única que nos dan estas plataformas para disfrutar conociendo grandes ideas de la humanidad. Otro día hablaremos de las matemáticas que esconden los algoritmos que nos recomiendan las películas y series en estos servicios.

Javier Aramayona es investigador Ramón y Cajal en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT.

David Martín de Diego es investigador científico del CSIC en el ICMAT y vicepresidente de la Real Sociedad Matemática Española.

Ágata Timón García-Longoria es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.


Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (Icmat), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata Timón (Icmat).

 
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