Matemáticas y Geometría. Ejercicios.

Un reto matemático: lo que se esconde en una suma
Esta operación puede parecer sencilla, pero guarda algunos secretos ocultos
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7 ¿De dónde salen los números de la tabla periódica?

Entre las cosas de matemáticas que aprendimos en la escuela que es probable que aún no hayamos olvidado, se encuentran las operaciones que los mayores denominan “las cuatro reglas”, esto es, sumar, restar, multiplicar y dividir. No las hemos olvidado por la cuenta que nos tiene, en una sociedad capitalista, consumista y mercantilista (no pongo ningún pero, que nadie se confunda, es así, y hay que asumirlo), en las que una de las máximas de casi todos es tratar de epatar económicamente al prójimo con el máximo beneficio personal posible. Es obvio, es la base del sistema. A estas operaciones deberíamos añadir otras como las también popularmente conocidas reglas de tres, el cálculo de porcentajes, etc. Pero, ¿de verdad las manejamos bien? Sobre la suma, que parece tan elemental, vamos a tratar de reflexionar un poco en esta ocasión.

Después de aprender a sumar, los maestros, los libros de texto, nos hablan de propiedades que para muchos no significan nada (porque tampoco se han planteado ni han entendido su verdadero alcance), pero que son bastante útiles en determinadas situaciones. Quizá el darles denominaciones algo “extrañas” sea la causa de esa desidia, no sé, ese análisis es tarea de otros, yo me dedico a explicarlas: conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento opuesto. Nos quedamos hoy con la más evidente, en apariencia, la propiedad conmutativa. Cualquiera que haya sumado alguna vez varias cantidades sabe, por simple experiencia, que da igual el orden en que tome los sumandos, que el resultado va a ser siempre el mismo (salvo error al operar, obviamente). Pero, ¿es siempre esto así?

A ver, por ejemplo, ¿cuál es el resultado de la siguiente operación?



1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ………..

A riesgo de equivocarme, un alto porcentaje de los lectores habrá respondido que 0 (cero), porque es obvio que por parejas se van cancelando todos esos sumandos. Muy bien, pero qué ocurre cuando agrupamos esa suma de un modo diferente, por ejemplo, así:

Real Sociedad Matemática Española (RSME).

https://www.abc.es/ciencia/abci-reto-matematico-esconde-suma-201903040227_noticia.html
 
Los misterios del número Pi aún sin resolver
El 14 de marzo se celebra el día de esta constante trascendente que está en todas partes
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0 Diez curiosidades sobre el número Pi para celebrar su día

Otro año más llegamos al 14 de marzo. Quien le iba a decir al bueno de Larry Shaw (físico, artista y gestor de museos y exposiciones, fallecido en 2017) que aquella ocurrencia que tuvo en 1988 de relacionar los primeros dígitos de π con este día mientras trabajaba para el Exploratorium de San Francisco, iba a crecer a lo largo de todo el mundo de esta manera. En un principio simplemente tuvieron una mini-celebración entre el personal del centro, comiendo algunas tartas (pie, en inglés se pronuncia igual que π). Al año siguiente, extendieron la fiesta a todos los visitantes, y dada su aceptación, a todos los años desde entonces, incluso cuando el museo estuvo cerrado durante su mudanza. Por cierto, el Exploratorium está considerado uno de los museos de ciencia más importantes del mundo, pionero en la filosofía actual de la mayor parte de los actuales, de experimentar, observar y divertirse. En pocas palabras aprender ciencia y tecnología de un modo informal pero participativo.

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La idea se extendió a lo largo del país (el congreso norteamericano declaró oficialmente en 2009 este día como Día Internacional de π) y del resto del mundo, con el objetivo más amplio de tratar de mostrar las matemáticas de un modo más accesible y divertido a partir de la excusa de que todo el mundo conoce la famosa constante ya que se introduce en los cursos más elementales de la enseñanza primaria en todo el mundo. En nuestro país, algunos profesores proponían por su cuenta diferentes actividades, hasta que hace tres años la RSME (Real Sociedad Matemática Española) y otras instituciones relacionadas con las matemáticas, decidieron sumarse a esta celebración proponiéndose montones de eventos (conferencias, concursos, y otras muchas propuestas en las que puede participarse de modo individual o por centros escolares). Paralelamente, blogs, páginas en internet, programas de radio y hasta la prensa escrita convencional han venido difundiendo aspectos relacionados con la historia, curiosidades, personajes relacionados con el número, resultados en donde aparece (que son legión), se han descrito referencias en películas y series de televisión, se han compuesto canciones, se han compuesto poemas, se han escrito relatos y hasta novelas, lo han utilizado en anuncios publicitarios, y, como no, pseudociencias y amantes de lo esotérico han tratado de sacar tajada también de esta universal popularidad. Y, en efecto, el numerito posee aspectos desconocidos, a los que, obviamente no se han asomado estos últimos porque entenderlos cuesta algo más que salir de noche con una grabadora a captar soniditos “extraños”.

Antes de nada, repasemos a modo de flash las características esenciales de π. Por definición es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (de ahí la formula escolar L = π d, en nuestro país más difundida por L = 2πr; la razón, no lo sé con seguridad, supongo que reside en que el área del círculo es A = π r^2, y parece más lógico referir ambas fórmulas a una misma magnitud, el radio, y no una al diámetro y otra al radio). Siendo por tanto una característica relacionada con figuras con curvatura, parece lógico que π esté presente en figuras como la elipse, la cicloide, o sólidos como el cono, el cilindro, la esfera, en definitiva, todo aquello que involucre de algún modo a circunferencias y círculos. Asimismo, funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.) en las que los ángulos se miden en radianes (un radián es la razón entre la longitud del arco que comprende una circunferencia y la longitud del radio; de nuevo aparece la circunferencia) también es lógico que incluyan a π. Cualquier fenómeno en el que aparezcan ondas (luz, sonido, calor, turbulencias, etc.) es descrito con funciones trigonométricas. Por tanto, la presencia en estos de π está garantizada. Hay por tanto pocas cosas en las que no esté esta constante. ¿Podemos pensar en alguna? ¿Quizá algo en los que sólo aparezcan líneas rectas o figuras sin curvatura alguna? Parece plausible.

número π es además trascendente. Esto significa que no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Hay números irracionales que no son trascendentes, como por ejemplo la raíz cuadrada de 2.

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El epitafio de Ferdinand von Lindemann
Tiene infinitos decimales no periódicos también, pero es solución de la ecuación x^2 = 2. Por eso no es trascendente. En cambio, para π no existe ninguna ecuación cuya solución sea él. Si alguien piensa en la ecuación x – π = 0, no sirve, porque sus coeficientes no son todos números racionales. Este resultado lo probó en 1882 el matemático Ferdinand von Lindemann. En su epitafio (no es el único, hay bastantes) decidió incluir a π, como vemos en la imagen.

Algunos artículos y libros de divulgación y curiosidades matemáticas han especulado con la idea de que cualquier frase, fecha, libro, escrito o por escribir, se encuentra en π, porque como contiene infinitos dígitos, asignando a cada cifra una letra, por ejemplo, de acuerdo a su posición en el alfabeto (es decir, 1 = A, 2 = B, etc.), existirá alguna posición a partir de la cual se reproduzca todo textualmente. Dicho de otro modo, ¿todo está en π? Introduzcamos para ello un concepto nuevo, el de número normal.

Un número normal es un número en el que todos sus dígitos están uniformemente distribuidos, es decir, todos los números de una cifra aparecen con la misma frecuencia, todas las parejas de dos cifras aparecen también con igual frecuencia, e igualmente con los de tres cifras, los de cuatro, etc. Y en cualquier base de numeración. En un número normal con infinitos decimales podremos por tanto encontrar cualquier secuencia finita de números, de cualquier longitud. Es decir, podríamos encontrar cualquier palabra, cualquier dato numérico: el día de tu cumpleaños, el de tu muerte, el nombre de tus futuros hijos, y ¿cualquier libro escrito o por escribir? Aunque teóricamente nada nos induce a pensar lo contrario, es poco probable, dado que, a partir de los millones de dígitos ya conocidos, se observa que hay no hay estructura en la información, o sea que hay muchos dígitos que no representan nada, y nada indica que eso tenga que cambiar.

Lo que sí podemos, porque somos curiosos, es experimentar un poco. Tomemos los primeros 1200 decimales de π. ¿Con que frecuencia aparecen (en base diez)? No tenemos más que copiar los dígitos en un procesador de textos (en internet podemos encontraraplicaciones que nos dan miles de cifras de π sin dificultad), y utilizar la herramienta que tenga para contar el número de ceros, unos, etc. A mí me salen estos datos:

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Pues da la impresión que, en efecto, todos los dígitos aparecen distribuidos de un modo uniforme. Pero la muestra es muy pequeña, para concluir nada. Prueben con más dígitos, cien mil, un millón, y calculen el porcentaje. Seguirá siendo una muestra no válida frente a infinito, pero no duden que el resultado no les dejará indiferentes. Por el momento, no se sabe si π es normal o no.

La conclusión a la que podemos llegar finalmente tras leer los párrafos anteriores es que es probable que π no lo contenga todo, pero está en todas partes. Incluso dentro de ti (tus ojos son esféricos, tu ADN es una doble hélice, tu corazón es una cardioide, tu riñón, tus pulmones, algunos de tus huesos, el caracol de tu oído, la vibración de tus cuerdas vocales, tu voz, la canción que cantas…, no se puede evitar).

¡¡¡Feliz Día de π!!!

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Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad deValladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)
https://www.abc.es/ciencia/abci-misterios-numero-sin-resolver-201903132101_noticia.html
 
Curiosidades del número Pi y por qué los niños deben aprender a entenderlo
Este dígito irracional, 3,14 es una constante matemática y es de los más estudiados en el ámbito de la aritmética y la geometría
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@abc_familia
Actualizado:14/03/2019 12:36h
4¿En qué consiste la metodología Singapur de matemáticas?

El Día del Número Pi (o «Piday», en inglés) se celebra el 14 de marzo, no por casualidad pues ese número responde a la forma en la que se escribe el día y el mes (3/14) en Estados Unidos -país donde nació la onomástica- y juega con la unidad y los dos decimales más conocidos del Pi (3,14). El «Piday» es una efeméride que nació hace una década para promover las matemáticas y las ciencias en el ámbito de la educación.

El número Pi es uno de los más estudiados en el mundo de la aritmética y es el resultado que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro. Este cociente siempre da como resultado el número Pi: 3,14, en su versión corta, ya que este dígito es irracional y por tanto con un número infinito de decimales, de los que en la actualidad se conocen más de 22 billones.

Tiene aplicaciones en áreas tan distintas como la ingeniería, la física y la astrología, pero en matemáticas es una de las constantes que más aparece. No en vano, con este número irracional podemos calcular circunferencias, áreas de círculos, volumen de esferas y cilindros.

Smartick.

El número Pi, en lugares que no esperas
En una de sus utilidades más prácticas cabe destacar que el número Pi se usa en los procesos de construcción de las tuberías que conducen el agua, de las ruedas del coche, de botellas y de los vasos en los que bebemos, entre otros muchos objetos; también aparece en ámbitos tan diversos como la geometría, los calendarios, la probabilidad, los comics o la música.

De hecho, Pi es casi mágico, ya que aparece en lugares que no esperaríamos. Por ejemplo, forma parte de los cálculos para ubicar un objeto o persona en un mapa usando tecnología GPS, y en los relojes de péndulo, la fórmula matemática del tiempo que le toma al péndulo oscilar de un lado a otro está basada en él.

Además, la NASA toma 16 dígitos de Pi para calcular posiciones exactas, y en los vuelos de larga distancia, en los que los aviones hacen un trazado en forma de arco de un círculo, la ruta se calcula haciendo uso del número Pi para optimizar el trayecto y el combustible.

Sin embargo, no todo el mundo lo conoce...





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El símbolo del número Pi y otras notas curiosas
El símbolo con el que se representa es la decimosexta letra del alfabeto griego y, además, es la primera letra de la palabra griega periphereia, término usado para designar el perímetro de un circulo. Fue el matemático galés William Jones el primero que utilizó esta denominación en 1706.

El récord actual en la memorización de decimales del número Pi lo tiene el indio Suresh Kumar Sharma, con 70.030 decimales. Tardó más de 24 horas en recitar todos los decimales.

Su nombre y su valor (3,141559…) es una de las cosas más recordadas de la educación matemática de la mayoría de los españoles. No es de extrañar, por tanto, que en Google aparezcan más de 208.000.000 resultados sobre esta constante infinita, muchas de ellas relacionadas precisamente con la celebración del «Piday»

Reportaje al completo en el siguiente enlace, gracias:
https://www.abc.es/familia/educacio...aprender-entenderlo-201903140203_noticia.html
 
¿Cuál es la fórmula matemática más bella?
El canon de belleza de esta disciplina lo tiene la fórmula de Euler, porque relaciona cinco constantes matemáticas
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A priori se podría pensar que el concepto de belleza está en las antípodas de las matemáticas porque, en principio, las cifras no guardan una relación directa con las emociones. Dicho en términos más prosaicos: nuestro sistema límbico no entiende de matemáticas.

Sin embargo, hay ciertos parámetros que los científicos aplauden como bellos, como puede ser la simplicidad -un sinónimo de elegancia-, y la presencia de ciertos números especiales -aquellos que tienen peculiaridades que los hacen diferentes-. Pues bien, con estas dos premisas y cinco constantes matemáticas se llegó a la fórmula más bella de toda la historia de las matemáticas.

Dos números muy exclusivos
El cero tiene una serie de características que lo hacen único, por una parte es el único número real que carece de inverso, es un número de tránsito, entre lo negativo y lo positivo, es el punto de referencia de la geometría cartesiana (0,0) y fue el último número en ser forjado.



Cero representa la nada y como tal se comenzó a usar en el siglo VII en la India; desde donde se extendió hacia el mundo islámico y China. Con todas estas singularidades, el número cero no podía faltar en la fórmula más bella.

El otro número que tiene reservado un lugar por derecho propio es el uno. A partir de él se obtienen el resto de los números naturales, es el patrón de medición, es el único número natural que no sigue a ningún número natural y, entre otras muchas cosas, es el elemento unidad de la multiplicación.

Dos constantes numéricas
La constante matemática más conocida es, sin duda, el número pi (π). No necesita presentaciones, esta letra griega relaciona el perímetro de un círculo con su diámetro. En alguna universidad británica se decía a los alumnos que si esta asociación no les sorprendía es que no tenían alma.

La otra «letra» es el número e, también conocido como el número de Euler, aunque fue inventado por John Napier. Este número irracional es la base de los logaritmos naturales. Su valor es 2,71828182845

Los amantes de las reglas mnemotécnicas siempre lo recordaremos con la frase «el trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme». El número de letras de cada palabra equivale a las cifras del número e.

Y un número imaginario…
En la fórmula no podía faltar una alusión a «la imaginación», aunque sea de forma metafórica. En matemáticas el número «i» se traduce como la «unidad imaginaria».

El filósofo René Descartes (1596-1650) estableció el valor de «i» como la raíz cuadrada de -1. Desde entonces no hemos dejado de utilizarla y, además, hemos acuñado el término «número complejo», que expresa la suma que se obtiene entre un número real y un número múltiplo de «i». Por ejemplo, un número complejo sería b + ai.

Con todos estos ingredientes tenemos la fórmula que describió por vez primera el matemático sueco Leonhard Euler (1707-1783) y que lleva su nombre:

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Aunque Euler sea un desconocido para el gran público, en base a las numerosas contribuciones que realizó es considerado por muchos como el «Mozart de las matemáticas».

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- M. Jara
Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación
https://www.abc.es/ciencia/abci-cual-formula-matematica-mas-bella-201903180129_noticia.html
 
Los enigmas escondidos en el retrato del matemático Luca Pacioli
El cuadro es un libro abierto de geometría, que ha sido reproducido en infinidad de libros de matemáticas
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0Las increíbles predicciones de Julio Verne que se han hecho realidad

En el Museo Nacional de Capodimonte (Nápoles) se encuentra un cuadro titulado «Retrato de Luca Pacioli con alumno», la obra más representada en los libros de historia de las matemáticas. En él aparece el famoso matemático Luca Pacioli (1445-1517).

La obra se atribuye al pintor Nicolo Barbari (1445-1516) –discípulo de Alberto Durero-, aunque hay estudiosos que afirman que pudo salir del taller de Leonardo da Vinci (1452-1519), por aquel entonces amigo personal del insigne matemático.

El fráter matemático
Pacioli hizo votos de castidad y pobreza como fraile franciscano en 1472, por ese motivo en el cuadro aparece ataviado con el hábito de la orden. El pintor lo representa señalando con un pizarrín, una construcción geométrica, en cuyo centro aparece el nombre de Euclides.



Es precisamente este detalle el que ha aventurado a algunos expertos a defender la teoría que toda la composición es en sí misma la solución a uno de los enunciados de este matemático.

La mano izquierda de Pacioli descansa sobre un libro abierto, probablemente una copia del siglo XIII de «Elementos», de Euclides. A la derecha aparece otro libro, de canto, en donde aparecen las iniciales del matemático. Probablemente, se trate de «Summa», su obra más prestigiosa y la gran enciclopedia matemática del siglo XV.

método de la doble entrada –debe y ha de haber-, por lo que Pacioli es considerado el padre de la contabilidad moderna.

Sobre el libro «Summa» aparece un dodecaedro ejecutado en madera, el quinto sólido platónico, al que se le asignaba la quinta esencia –el éter- la sustancia que formaba el cielo. Hay que tener presente que en la época que se pintó este cuadro había una gran pasión por este elemento, ya que era la base de numerosas teorías matemáticas.

Una extraña figura geométrica
En la esquina superior izquierda aparece representado un rombicuboctaedro de cristal, lleno de agua hasta la mitad y suspendido de un hilo. Esta figura es un sólido convexo formado por veintiséis caras y que simbolizaba la pureza y la intemporalidad.

Sobre la mesa hay, además, una esponja, un compás, una tiza, un transportador de ángulos… que dan un cierto aire de misterio a la composición y, de forma metafórica, sirve al Pacioli de tarjeta de presentación.

En cuanto a la composición, es posible que el pintor lo representase en mitad de una clase y el que aparece a su izquierda sea simplemente el «eterno estudiante». Algunos defienden que el alumno es el duqueGuidobaldo da Montefeltro, un personaje de noble porte que mantiene fija la mirada hacia el espectador, ajeno a lo que sucede a su alrededor.

En 1493, mientras impartía clases de matemáticas en la Universidad de Padua, su orden le amonestó por relajarse en sus funciones religiosas y extralimitarse en su pasión matemática. Le castigaron a abandonar las aulas universitarias.

Pacioli no tuvo más remedio que trasladarse a Asís, ya que pesaba sobre él la amenaza de excomunión. El exilio forzado se prolongó durante dos interminables años, hasta que el papa Julio II le permitió retornar a sus actividades académicas.

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- M. Jara
Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación.



https://www.abc.es/ciencia/abci-eni...matico-luca-pacioli-201903292202_noticia.html
 
¿A quién debemos el uso de la coma para separar los decimales?
El separador decimal hizo su aparición por vez primera a finales del siglo XV, pero a lo largo de su corta vida ha sufrido numerosas modificaciones
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Un número decimal es, por definición, un número no entero que tiene una parte decimal. En otras palabras, cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal separadas por… ¿una coma o un punto?

El Sistema Internacional de Unidades admite, actualmente, los dos separadores decimales, tanto el punto como la coma, especificando que se deben escribir en la parte inferior de la cifra. La mayor parte de los países europeos prefieren la coma, con la excepción del Reino Unido, que utiliza el punto decimal.

Por su parte, las Academias de la Lengua recomiendan en la página 666 de la Ortografía el punto, con el fin de “promover un proceso tendente a la unificación”.



Las civilizaciones antiguas no usaban números decimales por lo que no había necesidad de preocuparse por qué tipo de separador decimal había que utilizar. Parece ser que su origen se debe al italiano Francesco Pellos, que empleó el punto para separar la parte decimal de la entera. Corría el año 1492.

En 1579 el matemático francés Francois Viéte, en su obra “Canon”, decidió cambiar la grafía y emplear, en lugar del punto, una coma como separador decimal. La controversia estaba servida y los científicos empezaron a opinar.

Para complicarlo aún más, el matemático belga Simon Stevin (1548-1620) introdujo un nuevo sistema para referirse a los números decimales. Donde nosotros escribimos 10.45, Stevin escribía: 10 (0) 4(1) 5(2), simbolizando 10 unidades, 4 décimas y 5 centésimas.

Al igual que las cifras enteras representan unos valores según su posición –potencias de diez- los decimales se representaban con este sistema como fracciones inversas de las potencias de diez.

Algún tiempo después el matemático suizo Jobst Bürgi (1552-1632) decidió simplificar el proceso eliminando la mención al orden que ocupaba la cantidad y separando los decimales con el signo “º”. En el caso de 10.45 se escribiría como 10º45.

Afortunadamente, en 1617 el matemático escocés John Napier (1550-1617), barón de Merchiston, puso orden en todo este galimatías y retornó a la primigenia idea de usar el punto y la coma, lo hacía de forma indistinta. Sin embargo, en sus célebres tablas de logaritmos Neper usaba el punto decimal.

La imposición de la coma
El matemático, Gottfried Leibniz (1646-1716), el inventor del cálculo diferencial propuso la coma como separador decimal. Este teutón no pretendía llevar la contraria al escocés, simplemente defendía reservar el punto para representar el signo de multiplicación en lugar de la “x”, una letra que utilizaba para referirse a la incógnita.

En el siglo XVII la propuesta de Leibniz triunfó entre los matemáticos y la mayoría de los países de la Europa continental empezaron a utilizar la coma, mientras que en las islas británicas se optó por el punto, probablemente por influencias de Napier.

Para terminar una curiosidad, Napier no era matemático, sino un estudioso de la teología, que era lo que acaparaba la mayor parte de su vida, en especial la exégesis del Apocalipsis. Fueron sus estudios sobre este libro los que le llevaron a predecir el fin del mundo en 1668 o en 1700. Una buena noticia, se equivocó.

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- M. Jara
Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación.











https://www.abc.es/ciencia/abci-quien-debemos-coma-para-separar-decimales-201903310124_noticia.html
 
Futurama y las matemáticas
Publicado por Diego Cuevas
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Imagen: 20th Television.
En el episodio «Unos valiosos pececitos» de la primera temporada de Futurama, Fry visitaba la sucursal de su antiguo banco para comprobar si su cuenta corriente seguía activa tras pasarse mil años criogenizado por accidente. En la entidad le confirmaban que la cuenta de la que era titular desde hacía un milenio no solo seguía abierta, sino que además había producido ciertos beneficios en ese pequeño lapso de tiempo comprendido entre el año 2000 y el 3000: su dinero estaba sometido a un interés anual del 2,25% y con el paso del tiempo los noventa y tres céntimos iniciales que Fry atesoraba en su banco se habían convertido en cuatro mil trescientos millones de dólares.

Aquella era una argucia del guion para enriquecer al personaje de golpe y poder desenvolver el resto de la trama, pero al mismo tiempo también uno de los numerosos ejemplos que contenía Futuramasobre lo afinados que iban sus guionistas en matemáticas. Porque los noventa y tres céntimos sometidos a dicho interés durante mil años sí que producirían una cifra similar a la millonada mencionada, siempre y cuando se utilizasen un par de truquillos: redondear hacia arriba e ignorar la posible inflación. David X. Cohen, cocreador de Futurama junto a Matt Groening y alguien que cambió su nombre original (David S. Cohen) por otro con una equis porque sonaba «más a ciencia ficción», confirmaba en los comentarios del DVD que él mismo, junto al resto de guionistas, se había tomado la molestia de calcular la cifra varias veces en una Palm Pilot para no ser demasiado irrespetuosos con las Sagradas Matemáticas. Cohen también lanzaba otro dato significativo: entre el equipo que ideaba los episodios de la serie militaban unas cuantas mentes excelsas con licenciaturas en matemáticas, pero también con títulos importantes en el campo de la química inorgánica, la informática o la ingeniería eléctrica. Se daba el caso de que los que se encargaban de redondear los chistes en aquella serie de ci-fi eran una tropa de cerebritos empollones.

Fun with science

Al alumbrar Futurama una de las primeras normas que Groening estableció al equipo creativo fue que en cada capítulo «la ciencia nunca debería de pesar más que la comedia». Cohen y el resto de guionistas acataron lo que ordenaba el jefe, pero al mismo tiempo comenzaron a sopesar el modo de colar la mayor cantidad de ocurrencias científicas posibles sin ensombrecer la trama principal de cada episodio. La solución más evidentes para ello era apostar por referencias tan oscuras y rebuscadas como para no distraer al público casual, un trabajo que para Cohen estaba tirado porque ya lo había hecho antes, en más de una ocasión y en el seno de una familia amarilla.

Antes de Futurama Cohen se había encargado de escribir guiones para Los Simpson, textos entre los que se encontraba «Homer3», o el segmento más espectacular de «La casa-árbol del terror VI»: una historia en la que Homer se adentraba en un mundo tridimensional alejado de su clásica animación plana. Aparte de los llamativos gráficos por ordenador que lucía el asunto (estábamos en el 95 y lo flipábamos con poco por entonces), la secuencia destacaba por deslizar de puntillas una coña matemática rebuscadísima: a lo largo del fondo del escenario del mundo en tres dimensiones flotaban diversas ecuaciones matemáticas entre las que se encontraba la afirmación «178212 + 184112=192212». Una ecuación que de ser cierta refutaría el famoso último teorema de Fermat (que acababa de ser probado por aquella época) pero que en realidad solo era una engañifa enrevesada. Porque aquella ecuación solo podría darse (erróneamente) por válida en caso de ser comprobada en una calculadora típica, una del montón de las que solo tienen un límite de diez dígitos de precisión. Para idear aquel gag, inapreciable para la mayor parte del universo, Cohen se había molestado en teclear con su Powerbook un programa específico en C (cuyó código se puede ojear aquí) que fuese capaz de proporcionarle la ecuación falsa más precisa. Ese era el nivel al que jugaba el hombre en lo que respecta a la comedia matemática.

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Los Simpson. Imagen: Fox.
Cohen también camufló algunas ocurrencias más en las aventuras de la familia Simpson como una fórmula en «Homer3» («rho(m0) > 3(H0)2 / 8 (pi) G») que supuestamente representaba al universo colapsándose sobre sí mismo. O una ecuación sobre una pizarra en el episodio «El mago de Evergreen Terrace» que prometía revelar la masa del bosón de Higgs (una leyenda al nivel de Camelot por entonces). Pero mientras Cohen tan solo echaba una mano eventual en Los Simpson, en la serie Futurama se encargaría de comandar a todo el equipo de guionistas, y aquello significaba que la barra libre de retorcidas referencias científicas estaba garantizada.

1729

Ken Keeler era otro de los guionistas de Futurama con título universitario enmarcado en casa, concretamente uno firmado por la Universidad de Harvard que aseguraba que el caballero era muy mañoso en las artes matemáticas. La historia de cómo coxx hace un matemático para acabar convirtiéndose en guionista de dibujos animados la dejaba caer con gracia el propio Keeler durante las entrevistas: «Cuando estaba terminando mi tesis observé que había muchísimos nuevos licenciados para muy pocas plazas en los centros de investigación. Y que las personas que había conocido en la universidad cuando tanteé la escritura cómica estaban ganándose bastante bien la vida escribiendo para la televisión. Así que para cubrirme las espalda envié material al show de David Letterman. Antes de que me dijesen nada obtuve un buen trabajo en Bell Labs [una compañía científica de investigación y desarrollo] y poco después me llamaron del programa de Letterman con una oferta de trabajo. Pensé que si no me lanzaba a lo de escribir me arrepentiría toda mi vida, y me fui con Letterman. Me he arrepentido toda mi vida». A la hora de dejar huella científica en la serie Keeler siempre se ha mostrado muy orgulloso de sus logros, entre los que se encuentran el asignarle un número de unidad concreto a Bender: el 1729. Una cifra muy significativa para cualquier matemático. «Solo por aquel chiste numérico ya merecieron la pena los seis años de universidad», aseguraba Keeler, «Pero no sé si mis profesores opinarían lo mismo».

El 1729 es el llamado «Número de Hardy-Ramanujan». O el número natural más pequeño que puede ser expresado como suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes («1729 = 13 + 123 = 93 + 103»). Una cifra cuya importancia nació a partir de una anécdota: cuando el matemático Godfrey Harold Hardy se dirigía hacia un hospital londinense, para visitar al también matemático Srinivasa Ramanujan, optó por tomar un taxi cuyo número identificativo era el 1729. Y al llegar a la habitación de su amigo convaleciente le explicó que llevaba pensando en el número en cuestión desde que se había bajado del vehículo, porque le parecía una cifra aburrida y se temía que aquello fuese un mal presagio. Ramanujan, un cerebrito indio extraordinario educado de manera autodidacta, le contestó rápidamente con un «No. Es un número muy interesante porque se trata del número más pequeño expresable como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes». Y desde allí, desde la cama del hospital y sin pretenderlo, Ramanujan y Hardy convirtieron el 1729 en historia de las matemáticas.

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En Futurama, Bender era el hijo número 1729 de un brazo mecánico, la nave Nimbus que pilotaba Zapp Brannigan tenía «BP-1729» como número de serie y en el episodio «La paracaja de Farnsworth» uno de los universos paralelos era etiquetado como «Universo 1729». También los números de serie de Bender (2716057) y su hermano Flexo (3370318) son un guiño al combo Hardy-Ramanujan, «Ambos son expresables como la suma de dos cubos» exclamaba Bender al conocer el dato (2716057 es el resultado de 9523 + (-951)3, y 3370318 puede obtenerse al efectuar la operación 1193 + 1193). En «El gran golpe de Bender» el homenaje a los matemáticos se remataba por completo cuando Fry se subía a un taxi con el número 87539319, o el menor número entero que puede ser representado de tres maneras diferentes como la suma de dos cubos positivos.

Futurama y la ciencia

Tal y como deseaba Groening, en su serie la ciencia nunca llegó a hacer sombra a la comedia. Pero al mismo tiempo, tal y como deseaba Cohen, la ciencia fue capaz de colarse en todo momento en Futurama en forma de bromas juguetonas.

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En el mundo de Futurama era posible visitar un lugar llamado Studio 1²2¹3³, que viene a ser la forma matemática algo enrevesada (1²x2¹x3³), de rebautizar al clásico Studio 54. También existía un cine que se publicitaba como Loew’s ℵ0-Plex, un nombre que daba a entender que el complejo disponía de un número infinito de pantallas de cine porque el álef (la letra hebrea «») se utiliza tradicionalmente para referirse a los números transfinitos. En «La ruta de todo mal» aparece una marca de cerveza llamada Klein’s Beer cuyo embalaje es un calco directo de la botella de Klein, ese recipiente de apariencia imposible que no tiene interior ni exterior ideado por el matemático alemán Felix Klein. A la vera de aquellos frascos también se asentaba una caja de birras etiquetada como St. Pauli Exclusion Principle Girl en homenaje a Wolfgang Pauli y su principio de exclusión. Los inmuebles tampoco se libraban de convertirse en chistes científicos: la Universidad de Físicas de Marte aparecía equilibrada sobre una balanza junto a su edificio anexo y en el año 3000 era posible visitar tanto el Madison Cube Garden como el Trump Trapezoid.

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El título original del capítulo «La ballena espacial» era el mucho más ocurrente «Möbius Dick», resultado de cruzar la novela Moby Dick de Herman Neville con aquella superficie de una sola cara conocida como banda de Moebius diseñada por el matemático August Ferdinand Moebius. O la mejor forma posible (inspirada por un viejo chiste matemático) de bautizar a un capítulo donde aparece un cetáceo cósmico cuyos intestinos son cintas de Moebius. El show también contenía un Schrödinger’s Kit-Kat Club cuyo nombre combinaba el legendario Kit-Kat Club con el sufrido felino de Schrödinger. Y el mismísimo Erwin Schrödinger gozaba de un cameo en el episodio «Ley y oráculo», donde era detenido por la policía portando una caja que contenía en su interior un gato, un átomo de cesio, veneno y drogas.

En «La suerte del frylandés» el profesor Fansworth citaba el principio de incertidumbre de Heisenbergal enterarse de que las cámaras de una carrera de caballos operaban a niveles cuánticos. Uno de los episodios de la sexta temporada sentenció durante su opening un rotundo «Lo que pasa en Cygnus X-1 se queda en Cygnus X-1» aunque muy pocos espectadores eran conscientes de que aquel Cygnus X-1 existía en el mundo real: se trata de una fuente de rayos X, ubicada en la constelación del Cisne, que se supuso el primer caso en el que fue posible probar (casi con total seguridad) la presencia de un agujero negro. Otras coñas rebuscadas escondían en el escenario guiños a las clases de complejidad P y NP, a las matemáticas discretas o se esmeraban en remezclar en un cartel símbolos matemáticos y judíos para elaborar juegos de palabras de traducción complicada.

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Las referencias informáticas fueron también bastante recurrentes en una serie animada capaz de mostrar durante la secuencia de créditos iniciales un letrero anunciando «Aviso: cualquier parecido con robots reales sería algo bastante molón». En la serie, los rayos X revelaban que el cerebro de Bender tiraban de un procesador 6502, o el mismo número de microprocesador que utilizó Steve Wozniak para fabricar su Apple II en 1977. El anticuado autómata Sinclair 2K que aparecía en «Obsoletamente fabuloso» heredaba su nombre del Timex Sinclair 1000, un ordenador doméstico con un par de Ks de memoria total. El número de apartamento de Bender era el capicúa 00100100 que equivale en código binario al número 36, una cifra que a su vez en código ASCII representa el símbolo del dólar («$»). En el episodio «El bocinazo» otro código binario aparecía escrito con sangre sobre una pared: un 0101100101 que equivale al muy poco interesante 357 y en principio no parecía preocupar demasiado a los protagonistas. Hasta que Bender contemplaba los números reflejados en un espejo (1010011010) y entraba en pánico al ser consciente de que representaban el satánico 666. En el piso que habitaban Bender y Fry en «Yo, compañero de piso» se puede ver en un cuadro una reformulación del clásico «Hogar, dulce hogar» escrito en código BASIC: «10 HOME/ 20 SWEET/ 30 GO TO 10». Y en la iglesia de la robotología que aparecía en «El infierno son los demás robots» un letrero anunciaba también en BASIC el destino de los pecadores: «10 SIN/ 20 GO TO HELL». Otras alusiones al mundo informático incluían un cuadro titulado Commodore LXIV (Commodore 64), una camiseta con el lema «Euro TRaSh-80» (en referencia al TRS-80, conocido popular y cariñosamente como el Trash-80), bucles escritos en código en pancartas enarboladas por robots y una bebida llamada Olde fortran en honor a un lenguaje de programación.

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Los números irracionales fueron otra de las obsesiones de los guionistas licenciados. En Futurama no solo existía una ruta «Historic √66» (un juego de palabras en inglés al leerse como «Historic root 66») sino que también era posible vislumbrar un aceite lubricante etiquetado como «π-in-1», una calle llamada «πth Avenue», un canal de televisión en el número √2 donde se emitía Channel √2 news y una compañía suiza dedicada a la venta de muebles bautizada como πKEA. En un momento dado de la película Futurama: El juego de Bender la nave de los protagonistas navegaba a través de los diferentes dígitos que forman el Número e.

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El teorema de Futurama

En el episodio «El prisionero de Benda», el profesor Hubert J. Farnsworth y Amy decidían utilizar una máquina para intercambiar sus cuerpos a base de mudar las mentes entre ambos. Inicialmente el invento funcionaba, pero más adelante descubrían que el proceso no era reversible de manera directa, porque el aparato no permitía intercambiar de nuevo las conciencias entre dos cuerpos que ya lo hubiesen hecho previamente. A lo largo del episodio el profesor se esmeraba en encontrar el modo de volver a recuperar su embalaje de carne original, un problema que pretendía resolver utilizando como mínimo una pareja de cuerpos adicionales. Finalmente, Farnsworth con la ayuda de los Globbertrotters, ese equipo de baloncesto mundialmente reconocido por sus habilidades científicas, acababa encontrando una solución al problema que exponía de manera visible en el propio episodio sobre una pizarra. Un teorema matemático basado en la teoría de grupos que solucionaba el entuerto de viajar entre cuerpos y acarreaba una curiosidad en el mundo real: había sido creado explícitamente para ser utilizado en Futurama.

David X. Cohen suele comentar que Ken Keeler ideó aquel nuevo teorema únicamente para poder utilizarlo en la serie. Y también que probablemente se tratase de la primera vez en la historia en la que un teorema era enunciado y demostrado en el contexto de un guion televisivo. Lo cierto es que al propio Keeler llamar «teorema» a su ocurrencia se le antoja excesivo y prefiere considerarlo como una simple demostración matemática, aunque la cultura popular ya ha comenzado a referirse al mismo como el Teorema de Futurama mientras otros, como el matemático James Grime de la Universidad de Cambridge, directamente lo mencionan como el Teorema de Keeler. En Wikipedia la demostración de Keeler tiene un apartado propio y en el capítulo en cuestión es visible en pantalla:

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Sea considerado un teorema o una demostración, lo cierto es que el equipo del show siempre se ha mostrado bastante satisfecho con la atención que ha generado el tema. Cohen define el teorema como «el momento matemático de Futurama del que se siente más orgulloso» y Keeler ha declarado que la inclusión de aquella demostración pretendía popularizar las matemáticas entre los más jóvenes, algo que (en una medida u otra) ha acabado logrando al generar tanto interés.

Pero si algo reflejaban las fórmulas garabateadas sobre aquella pizarra verdosa es la meticulosidad que las aventuras de Fry y compañía acarreaban detrás y sobre la mesa del equipo de guionistas. Una atención al detalle de la que se había dejado constancia desde su mismísimo inicio. En el primer capítulo, «Piloto espacial 3000», Fry se despertaba de la criogenización el día treinta y uno de diciembre del año 2999 en la ciudad de Nueva Nueva York. En un momento dado del episodio, Bender llevaba de visita al protagonista a un museo alegando que «la entrada es gratuita los martes». Y cualquiera que se moleste en agarrar un calendario del futuro ahora mismo puede comprobar que, efectivamente, el treinta y uno de diciembre del 2999 caerá de martes.
https://www.jotdown.es/2019/04/futurama-y-las-matematicas/
 
DeepMind, la inteligencia artificial de Google, suspende un simple examen de bachillerato
El software de la compañía fue capaz de resolver catorce de cuarenta preguntas
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Seguir J.M. Sánchez@josedaze
MADRID
Actualizado:11/04/2019 02:15h

Los avances en inteligencia artificial son asombrosos. En los últimos tiempos las máquinas han conseguido superar al ser humano en muchas de las áreas. Incluso en algunos juegos y actividades en donde se requiere de una gran experiencia y dominar técnicas casi ancestrales. Se le ha ganado al ajedrez, al milenario Go o en videojuegos. Pero todavía está en pañales en muchos aspectos. Hay que depurar algunos de sus comportamientos, pero es indudable que el futuro viene marcado por la robotización.

Hay estudios, más o menos acertados, que apuntan a que la IA está en estos momentos alcanzando las capacidades del cerebro del ratón. Una controversia a tenor de los logros alcanzados; las máquinas superaron a la persona hace décadas, al menos en cálculo y precisión. Lo curioso es que uno de los software más avanzados del mundo, Deep Mind, empresa filial de Google, se ha mostrado incapaz de superar lo que para muchos interlocutores sería un simple examen de bachillerato. Una prueba de cuarenta preguntas (acertó únicamente catorce) que puede superar un adolescente de 16 años en edad escolar.

El ensayo, diseñado para evaluar el razonamiento matemático, presentaba importantes desafíos. Algunas de las preguntas enarboladas fueron «¿Cuánto es 17 x 4?» o «¿Cuál es la suma de 1+1+1+1+1+1+1?». El sistema se mostró incapaz de articular una respuesta. La razón de esta situación se debe al modelo de aprendizaje actual de la IA, basada en supuestos y ejemplos que, una vez incorporado, el software va «aprendiendo», es decir, incorporando y extrayendo patrones. Pero esta sencilla cuestión no encontró sentido en su base de datos.

Los investigadores comprobaron varios tipos de IA y descubrieron que los algoritmos tienen dificultades para traducir una pregunta tal como aparece en un examen tradicional, lleno de palabras y símbolos. DeepMind entrenó sus algoritmos de red neuronal con datos sobre Matemáticas, Álgebra, Aritmética, Estadísticas, Cálculo o polinomios. Los expertos, sin embargo, creen que todavía la IA tiene dificultades a la hora de aplicar razonamientos algebraicos.

Según el informe, incluso un simple problema matemático implica una gran capacidad mental, ya que las personas aprenden por inercia y de manera automática a comprender las operaciones matemáticas, memorizando el orden en el que se desarrollar hasta comprender cómo cambian los términos.
https://www.abc.es/tecnologia/infor...examen-bachillerato-201904101502_noticia.html
 
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Contar antes de contar.
Publicado por Karlos Zurutuza.

Un jabalí, una lanza para cazarlo y un sílex para despellejarlo. La cesta de la compra semanal en el Paleolítico sería algo así. De acuerdo, habría también un puñado de moras, o de castañas; muchas o pocas, pero daba igual cuántas. Un puñado. Fueron aquellos benditos miles de años en los que no había ni historia, ni prácticamente ninguna necesidad de contar una cantidad que superara los dedos de una mano. Bastaban unas muescas en un hueso para llevar la contabilidad.

Las cosas se complican cuando ese sencillo depredador que caza y recoge como cualquier otro animal se convierte en productor. Ahora hay que contar, desde berzas hasta vacas y, por supuesto, los litros que estas últimas producen. Ya no se vive de lo que da la tierra sino de lo que uno es capaz de arrancar, ordeñar, exprimir… Llega la hora de actualizar el sistema de muescas. Griegos o egipcios se las apañaron añadiendo símbolos extras (puntitos, barritas horizontales…) a esas marcas. Imaginen las cifras de las pirámides en piedras y esclavos… Los romanos simplificaron el asunto: un palito por cada oveja; una V cuando se llega a cinco y una X para diez, que no es sino lo que forman dos V unidas por la base. Seguimos con la C de centumpara cien y la M de mille para mil, aunque desconocemos los vocablos originales cuyas iniciales eran L (cincuenta) o D (quinientos).

Las cosas habrían sido mucho más sencillas si los romanos hubieran conocido el cero, pero el sistema acabó adaptándose a las crecientes necesidades de una sociedad cada vez más sedienta por contar. Durante la Edad Media era habitual hacerlo en grupos de veinte, algo que, dicen, tiene su origen en contar con los dedos de las manos y los pies. Se cree que la costumbre deriva del comercio: era más sencillo contar grandes cantidades con un sistema vigesimal que con uno decimal (solo con los dedos de las manos). Otra teoría es la que relaciona este sistema con celtas, vascos o georgianos, que siguen utilizando este método. En zonas de Zamora aún se usa un cuatro veintes para ochenta, o duos veintes para cuarenta en Cantabria.

Se cree que el sistema decimal tuvo su origen en la India entre los siglos V y VII, y que llegó a Europa a través de comerciantes árabes, intelectuales o invasores de cualquier estandarte. El español también adoptó el sistema decimal, pero el francés solo lo hizo a medias: las formas antiguas —probablemente de origen celta— como vint et dix (veinte más diez), deux vints (dos por veinte), trois vints (tres por veinte), etc., se sustituyeron por trente (treinta), quarante (cuarenta) y soixante (sesenta), pero dejaron el resto de los números como solían ser en el antiguo sistema hasta hoy. No hay una explicación lógica de por qué los franceses solo transformaron una parte de sus números al sistema decimal, pero es así.

Sea en decenas o veintenas, contar era una necesidad vital para cualquier campesino, artesano o comerciante, pero no así leer. O lo que es lo mismo: uno puede conocer las matemáticas aun siendo analfabeto. Joseph Mazur, un matemático americano, dice que la escritura aritmética precede en más de mil años a la alfabética. Paradójicamente, aprender sistemas numéricos distintos a los dominantes (arábigo y romano) es todo un desafío. Piensen que, en Europa, el georgiano o el griego son dos ejemplos de un puñado de sistemas distintos a los dominantes que se pueden contar con los dedos de una mano.

¿Por qué hablamos tan pocos idiomas numéricos en comparación con los alfabéticos? Si el sánscrito y el latín son las fuentes de las que beben los sistemas numéricos arábigo (también llamado indoarábigo) y romano, ¿podemos asumir que cada lengua tuvo alguna vez sus propios símbolos para escribir números? Nadie lo sabe. Los chinos han adoptado el sistema numeral arábigo extendido por todo el mundo, pero armonizando su uso con el de sus propios glifos, que comparten con japoneses o coreanos. También es de base decimal. África es rica en numerales autóctonos como los del antiguo etíope y, ya en América, el ejemplo más conocido de escritura matemática es el los aztecas. Era un sistema vigesimal en el que los números del uno al diecinueve se representaban con puntos y rayas, y el veinte con una bandera que se repetía para representar cantidades mayores. Y, a diferencia de los romanos, conocían el cero.

En Europa ya hemos mencionado el griego o el georgiano, pero también podríamos buscar en el ogham, que es como se llamaba el antiguo alfabeto de los irlandeses. Se conservan hasta cuatrocientas inscripciones en piedra de este tipo de escritura que se ejecutaba de arriba abajo. La inmensa mayoría de ellas recogen nombres de individuos, pero no números. No hay por qué pensar que los celtas insulares no contaran sus cosas en su propio sistema, aunque tampoco se puede descartar que conocieran ya el alfabeto latino cuando inventaron el suyo. Sin ir más lejos, los vikingos se inspiraron en los números romanos a la hora de grabar sus runas.

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Números gagauz, del libro Gagauz yortulari, adetleri, siralari, p. 9. Vía European studies blog (British Library).
Nos quedaremos con el muchísimo menos conocido caso de los gagaúzos, una minoría de habla turca y religión cristiana ortodoxa cuyos aproximadamente 150 000 miembros viven principalmente en el sur de Moldavia. Hasta mediados del siglo XX la suya era una lengua perseguida que, como tal, apenas se escribía. Los terremotos de la geopolítica los llevaron a declarar la independencia de Moldavia en 1991, pero casi no tenían territorio físico sobre el que plantar su bandera. Durante el impasse, pasaron del alfabeto cirílico al latino que usan a día de hoy. Su sistema numeral es el arábigo, pero parece que no siempre fue así. Hace cien años, un lingüista búlgaro recuperó el código que este desconocido pueblo usaba para contar. En la magnífica ilustración de este artículo pueden encontrar sus cuatro formas básicas (barra vertical, cruz, semicírculo y círculo). El símbolo para el cien representa el valor más alto de un solo icono, lo cual puede sugerir una base decimal aunque el código se acabe articulando en base vigesimal. Se lee de izquierda a derecha y se forma de tres maneras: sumando, multiplicando por símbolos adyacentes, o por la combinación de ambas. Por ejemplo, la suma se aplica hasta cuatrocientos noventa y nueve, la multiplicación para quinientos y mil y la combinación a partir de seiscientos.

Los gagaúzos, que ya hemos dicho antes que son muy pocos, están perdiendo su lengua frente a las dominantes en la zona y probablemente ya no quede ninguno que sepa escribir los números como sus antepasados. Lingüistas como Karl Menninger clasifican la escritura matemática gagaúza como «numerales para campesinos»; símbolos que una persona analfabeta puede identificar y reproducir fácilmente. En su extremada sencillez recuerdan a los glifos que los tuareg llevan grabando en la arena del desierto desde hace más de dos mil años para contar camellos, dunas o estrellas. Irradian esa belleza primigenia y atemporal; hay algo atávico en ellos que nos reconecta con los tiempos en los que todo estaba aún por contar.

https://www.jotdown.es/2019/04/contar-antes-de-contar/
 
Las asombrosas fórmulas matemáticas desarrolladas por un profesor español
El zaragozano Jesús Guillera plantea problemas que recuerdan a los del genial matemático indio Ramanujan
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A todo el que se haya acercado alguna vez a algún artículo o libro de matemática recreativa o de divulgación seguramente le suene el nombre de Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920). Si no es así, indicaremos brevemente que nació en Erode, localidad al sur de la India, perteneciente en ese momento al Imperio Británico, en una familia muy humilde.

Desde pequeño mostró un interés y capacidad para las matemáticas, la mayor parte de las cuales las aprendió por su cuenta, de un modo autodidacta, leyendo los escasos libros que le prestaban. Sin una educación matemática formal, comenzó a escribir fórmulas y resultados en unos cuadernos, que fueron vistos por los matemáticos de algunas instituciones de su entorno para los que resultaban totalmente incomprensibles, ya que se describían sin desarrollo lógico alguno.

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En la imagen se describen dos desarrollos en serie para el cálculo de aproximaciones del número π, ideadas por Ramanujan en 1910, y posteriormente publicadas en Inglaterra en 1914.
De forma eventual empieza a trabajar como contable en Madrás, trabajo que le resultaba sencillo, lo que le permitía seguir pensando en las matemáticas que él quería. Aconsejado por sus superiores y compañeros decide escribir a matemáticos británicos de relevancia, enviándoles algunas de sus fórmulas y resultados. Muchos no le responden, pero uno de ellos, Godfrey H. Hardy, apoyado por su colega John E. Littlewood quedan profundamente sorprendidos, deseando conocer de primera mano cómo ha llegado a tan sorprendentes expresiones. Y, no sin dificultades, consiguen que Ramanujan se traslade a Inglaterra. Allí, las cosas no serán nada sencillas (estalla además la I Guerra Mundial e Inglaterra queda aislada): no hay demostración alguna de aquellos resultados, y su descubridor sostiene que le fueron revelados por una deidad familiar de la que es devoto. No es difícil imaginar cómo debieron caer tales afirmaciones en un ambiente rigurosamente académico, y cómo debieron sentirse sus valedores. El choque cultural y de divergentes formas de ser no ayudaría al entendimiento.

Lejos de mejorar, las cosas se complicarían por el estado de salud de Ramanujan (enfermo desde niño, vegetariano y sin poder nutrirse adecuadamente con alimentos frescos por culpa del bloqueo), la tensión personal de no estar ni comunicarse con su familia, etc., lo que no debió facilitar su estancia fuera de su país. Tras cinco años en Inglaterra, regresa a su país en 1919, y un año después, fallece a los 32 años. Recientemente se han estrenado dos largometrajes sobre su vida, una coproducción indo-británica de 2014 titulada «Ramanujan», no estrenada en nuestro país, y «El hombre que conocía el infinito»sobre este singular matemático.

La singularidad de estos trabajos y la peculiar manera de hallarlos, su propia existencia, la dificultad en la comprensión de los apuntes legados en sus cuadernos, han conformado un halo de misterio y romántica leyenda en torno a la figura de este matemático. Una historia única, que tuvo la fortuna de ser conocida, como otras existencias en las más diversas disciplinas (literatura, arte, ciencia, etc.). Seguramente otras muchas hayan tenido lugar a lo largo de la historia, pero no han perdurado.

También en España
Salvando las distancias, y las épocas, hay al menos una persona que ha desarrollado fórmulas parecidas (pero diferentes) a las de Ramanujan y que también proporcionan decimales del número π con una notable “velocidad de convergencia”. Entrecomillo esta expresión porque tendríamos que matizarla de forma rigurosa, pero la utilizo porque creo que es la que mejor ilustra lo siguiente: en cada iteración, o sea, en el cálculo de cada nueva aproximación, se añaden (aproximadamente) un número fijo n de cifras decimales correctas. Cuanto mayor sea ese n, más rápida es la convergencia.

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Jesús Guillera
Se trata del profesor zaragozano Jesús Guillera (nacido en 1955). Se licenció en Ciencias Físicas en la Universidad de Zaragoza, impartiendo clase en institutos de bachillerato y enseñanza secundaria. En el año 2007 finaliza su tesis sobre artículos que ya le habían publicado, siendo editada en español en formato de libro. Dicha tesis mereció la calificación de Sobresaliente Cum Laude, obteniendo además un Premio Extraordinario. Sus directores fueron la doctora Eva Gallardo Gutiérrez, especialista en espacios de Hardy, y el matemático ruso Wadim Zudilin, que en 2001 recibió, precisamente, el distinguido premio de la sociedad Hardy-Ramanujan. Recientemente, Jesús ha sido nombrado Colaborador Extraordinario del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza.

El pasado 4 de abril, Jesús fue invitado por el catedrático Doron Zeilberger de la Universidad Rutgers (Nueva Jersey, Estados Unidos) a impartir allí una conferencia.

Zeilberger ha recibido múltiples reconocimientos por sus contribuciones en el desarrollo de la Teoría WZ, que ha revolucionado el trabajo con las series hipergeométricas, entre ellas la medalla Euler (2004) por la utilización de ordenadores y algoritmos en la investigación eficiente de las matemáticas. Es por tanto una gran personalidad en este campo, lo que a su vez prestigia el trabajo y los logros de nuestro compatriota. A su regreso mantuvimos una amigable conversación telefónica y hablamos de su trabajo, entre otros asuntos:

-Cuando uno escucha que no hay explicación a sus fórmulas, pero comprobamos que funcionan, resulta cuanto menos chocante. Es difícil pensar que expresiones tan complejas se hayan obtenido mediante ensayo-prueba-error. ¿Ha sido así en realidad?

-Una de las más recientes ramas de las matemáticas es la que se conoce como “Matemáticas Experimentales”. Su objetivo es desarrollar algoritmos eficientes para descubrir e incluso para demostrar fórmulas, y también naturalmente hacer uso de ellas como si fueran “cajas negras”, es decir, sin que necesitemos saber cómo funcionan internamente. Uno de sus métodos más celebrados son los algoritmos para encontrar relaciones enteras entre ciertas cantidades numéricas. Observando el aspecto de las series de Ramanujan para 1/π pude intuir el aspecto general que debería tener una serie para 1/π^2. Además, resulta que tanto las fórmulas de Ramanujan para 1/π como las mías para 1/π^2 se pueden descomponer en dos y tres series, respectivamente, multiplicadas por ciertos números enteros. Y esos números enteros se pueden descubrir con algoritmos de búsqueda de relaciones enteras y, sison suficientemente pequeños comparados con la precisión numérica con la que operemos, entonces es muy probable que los mismos números enteros sean válidos con independencia de la precisión, y entonces habremos descubierto una fórmula que es muy posible que sea cierta. Una vez descubierta se pueden comprobar muchos más decimales directamente, pero esto tampoco constituye una demostración ya que no hay muchos, sino infinitos. Así que la demostración hay que hacerla con otras técnicas.

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Series alternadas desarrolladas por Jesús Guillera en 2002 y 2003, respectivamente, tipo Ramanujan. La primera la demostró mediante el método WZ, la segunda, obtenida mediante un algoritmo de relaciones enteras, aún no ha sido probada.
- ¿En qué consiste el método Wilf y Zeilberger (WZ)?

- Averiguar la suma exacta de una función g(n) para todos los valores naturales de n suele ser en principio muy difícil. La idea de Wilf y Zeilberger para obtener la suma de ciertos tipos de funciones g(n) consistió en encontrar una función G(n, k) tal que G(n, 0) = g(n) y cuya suma para todos los valores de n fuera independiente del parámetro libre k. Lo que hace el algoritmo WZ es certificar aquellas funciones G(n, k) que tienen esta propiedad, y lo hace hallando una función compañera F(n, k) que nos da la llave de la demostración, y se basa en que el par WZ de funciones (F, G) satisface las siguientes propiedades:

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Además el algoritmo está programado para ser usado por ordenador por lo que la función F(n, k) se obtiene de forma automática. Para completar la demostración de una fórmula sólo hay que determinar el valor de esa suma constante y en algunos casos la manera más sencilla de hacerlo es tomando el límite cuando k tiende a infinito. En resumen, lo difícil es descubrir una función G (n, k) adecuada, pero si la encuentras la demostración de la fórmula es automática. Es por ello que hallar pares WZ interesantes es algo muy preciado y por ello suelo decir que son verdaderas joyas matemáticas. Pues bien, utilizando el método WZ he conseguido demostrar hasta ahora cuatro fórmulas para 1/π^2 (dos en el año 2002, otra en 2003 y una más en 2010).

- ¿Cree que podría existir un tipo concreto de series infinitas, entre las que estarían las suyas y las de Ramanujan, que aproximarían π con cada vez más decimales correctos en cada iteración? ¿Se estabilizaría ese orden de precisión en algún momento? ¿Qué avances conoce en este sentido que se hayan hecho?

-Las series de Ramanujan para 1/π son sumas de números racionales (aunque se admite un factor global algebraico), o bien de números irracionales pero algebraicos. Hay 36 series racionales de tipo Ramanujan y la más eficiente es la descubierta por los hermanos Chudnovsky (David y Gregory) en la que cada sumando contribuye con 14 decimales correctos. Pero si consideramos también las series irracionales entonces hay una infinidad de ellas. El problema es que, aunque existen series en las que cada sumando contribuye con un número de decimales tan grande como queramos, estas series no son tan amigables y algunas pueden contener números algebraicos muy complicados e incluso sin expresión en forma de radicales. En lo que se refiere a mis fórmulas hay una diferencia crucial con las de Ramanujan y es que parece que sólo puede haber un número finito de ellas y sólo una irracional.

- A nivel personal, ser citado en publicaciones de tanto prestigio y por investigadores de ese nivel, tiene que constituir una satisfacción impresionante. ¿Le ha cambiado en algo su vida personal unos hallazgos de esta importancia?

- Sí, naturalmente. Además, otros matemáticos encontraron conexiones de mis fórmulas con diversas ramas de las matemáticas, por ejemplo, en Teoría de números, en Geometría algebraica y en Geometría aritmética; en temas tan interesantes como supercongruencias, q-análogos, variedades de Calabi-Yau, motivos hipergeométricos, etc. Sin embargo, no ha habido progreso en lo que se refiere a demostrar mis fórmulas con otros métodos y la mayoría de ellas permanecen sin demostración, aunque nadie duda de que sean correctas.

También yo me he embarcado en el estudio e investigación de la nueva familia de fórmulas desde diversos puntos de vista y continúo trabajando en ello. Un reto importante es entender la nueva familia de forma global. Recientemente he conseguido también avances relacionados con las series alternadas de Ramanujan para 1/π, demostrando algo que se creía imposible: que el grado de las ecuaciones modulares que se requiere para deducir estas fórmulas es mucho menor del que se venía utilizando.

- En los últimos tiempos, hay un interés creciente por conocer las matemáticas (y la ciencia en general) fruto de la cual son tantas publicaciones, páginas web, secciones en prensa tradicional, incluso programas de radio y televisión, etc., en nuestro país (y otros). ¿Qué opina sobre ello? ¿Cree que es una moda pasajera, o realmente piensa que la sociedad se ha empezado a dar cuenta de que estos asuntos tienen interés y futuro?

- La divulgación científica de la Física, Química, Medicina, Genética, etc., resulta atractiva a muchas personas, pero divulgar matemáticas es muy difícil sin incluir fórmulas, y si se incluyen, parece que muchas personas se asustan. Pero bueno, siempre puede haber algunas personas, aunque sean pocas, que aprecien la belleza de las buenas matemáticas y sientan interés en aprender más. Además, hoy hay más medios que nunca debido a la cantidad de información que hay en web y al potente software matemático disponible. Y buenas páginas web enlazan a buenas páginas, pero ¡cuidado!, también hay malas.

- He leído que, en su caso, las matemáticas le sirvieron de un modo terapéutico de válvula de escape y recuperación de la ilusión en unos momentos personales difíciles. ¿Cómo fue acudir a esa opción, y no a la literatura, el cine, en fin, otras menos complicadas? ¿Por qué no la Física, dada su formación? ¿Por qué las matemáticas?

- Para comprobar teorías de la Física hay que hacer experimentos que no se pueden llevar a cabo en casa. Si estudié Físicas es porque un primo mío me regaló un libro de divulgación y quedé fascinado con lo que leí sobre la teoría de la relatividad de Einstein. Pero siempre me he sentido muy atraído por las Matemáticas y además son imprescindibles para entender bien la Física y otras Ciencias. Otra cosa que facilita la investigación en Matemáticas es que sólo se necesita papel, lápiz y un ordenador. En unos momentos difíciles me puse a leer un libro que me había comprado sobre el número π. Pensé que sería entretenido leer todo lo que se sabía sobre este número. Con lo que yo había estudiado en la carrera y también por mi cuenta pude comprender con facilidad casi todas las fórmulas del libro. Pero cuando vi las de Ramanujan me sentí perplejo, quedé impresionado y pensé: ¿Pero de dónde salen estas fórmulas? Son impresionantes y quiero llegar a entenderlas. Como en el libro había buenas direcciones web, pude ir estudiando y aprendiendo todo lo que pensaba que podría servirme para llegar a entender las fórmulas de Ramanujan.

Jesús Guillera también ha desarrollado algoritmos del tipo de los ideados en 1987 por los hermanos Borwein (Jonathan y Peter), que aproximan el valor de 1/π mediante sucesiones. Son métodos mucho más “potentes” que los del tipo Ramanujan o Chudnovsky porque en este caso el orden de convergencia es mayor: en cada aproximación, el número de dígitos correctos se multiplica (en lugar de sumarse) por un factor. Concretamente, el algoritmo de Borwein es de orden cuártico, es decir, si en la segunda etapa (o iteración), por ejemplo, tenemos ya 7 decimales correctos, en la siguiente se alcanzarían los 28 (salvo quizá el último o los dos últimos debido a posibles errores de redondeo, truncación o simplificación), en la siguiente los 112, y así sucesivamente, lo cual establece una convergencia muy rápida. Lo que logró el profesor Guillera en 2008 es hallar una generalización de ese método. Describimos simplemente en qué consiste: a partir de las sucesiones c n y d n siguientes

imagen4-k6pG-U3023605103960g-510x220@abc.jpg

define una tercera, a n

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que converge al valor

imagen6-k6pG-U302360510396Hp-510x70@abc.jpg

En el caso particular de w = 1, es el método de Borwein.

A ojos de cualquiera seguramente parezcan expresiones incomprensibles, imposibles de alcanzar. Evidentemente detrás de ellas hay muchas horas de trabajo y estudio, pero como el profesor Guillera ha puesto de manifiesto, perfectamente asequibles, y también en nuestro país. El talento no está limitado por nada. Recordemos que la mayor parte de su trayectoria profesional ha sido como docente en enseñanzas medias, y a este tipo de investigaciones se ha dedicado después de jubilarse, de modo que, además, nunca es tarde para pensar y aportar en matemáticas, echando abajo ese “mito” de que el matemático (y el científico) da todo lo que puede de sí sólo hasta los cuarenta años. Les recomiendo que se acerquen a su detallada página web si quieren conocer más detalles sobre sus trabajos.

Agradezco al profesor Guillera su enorme amabilidad y disponibilidad que me ha permitido compartir con todos ustedes su excepcional trabajo, que ojalá les inspire y anime a seguir su ejemplo.

https://www.abc.es/ciencia/abci-aso...as-profesor-espanol-201904290221_noticia.html
 
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