Matemáticas y Geometría. Ejercicios. (1 Viewer)

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DeepMind, la inteligencia artificial de Google, suspende un simple examen de bachillerato
El software de la compañía fue capaz de resolver catorce de cuarenta preguntas

Seguir J.M. Sánchez@josedaze
MADRID
Actualizado:11/04/2019 02:15h

Los avances en inteligencia artificial son asombrosos. En los últimos tiempos las máquinas han conseguido superar al ser humano en muchas de las áreas. Incluso en algunos juegos y actividades en donde se requiere de una gran experiencia y dominar técnicas casi ancestrales. Se le ha ganado al ajedrez, al milenario Go o en videojuegos. Pero todavía está en pañales en muchos aspectos. Hay que depurar algunos de sus comportamientos, pero es indudable que el futuro viene marcado por la robotización.

Hay estudios, más o menos acertados, que apuntan a que la IA está en estos momentos alcanzando las capacidades del cerebro del ratón. Una controversia a tenor de los logros alcanzados; las máquinas superaron a la persona hace décadas, al menos en cálculo y precisión. Lo curioso es que uno de los software más avanzados del mundo, Deep Mind, empresa filial de Google, se ha mostrado incapaz de superar lo que para muchos interlocutores sería un simple examen de bachillerato. Una prueba de cuarenta preguntas (acertó únicamente catorce) que puede superar un adolescente de 16 años en edad escolar.

El ensayo, diseñado para evaluar el razonamiento matemático, presentaba importantes desafíos. Algunas de las preguntas enarboladas fueron «¿Cuánto es 17 x 4?» o «¿Cuál es la suma de 1+1+1+1+1+1+1?». El sistema se mostró incapaz de articular una respuesta. La razón de esta situación se debe al modelo de aprendizaje actual de la IA, basada en supuestos y ejemplos que, una vez incorporado, el software va «aprendiendo», es decir, incorporando y extrayendo patrones. Pero esta sencilla cuestión no encontró sentido en su base de datos.

Los investigadores comprobaron varios tipos de IA y descubrieron que los algoritmos tienen dificultades para traducir una pregunta tal como aparece en un examen tradicional, lleno de palabras y símbolos. DeepMind entrenó sus algoritmos de red neuronal con datos sobre Matemáticas, Álgebra, Aritmética, Estadísticas, Cálculo o polinomios. Los expertos, sin embargo, creen que todavía la IA tiene dificultades a la hora de aplicar razonamientos algebraicos.

Según el informe, incluso un simple problema matemático implica una gran capacidad mental, ya que las personas aprenden por inercia y de manera automática a comprender las operaciones matemáticas, memorizando el orden en el que se desarrollar hasta comprender cómo cambian los términos.
https://www.abc.es/tecnologia/infor...examen-bachillerato-201904101502_noticia.html
 

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Contar antes de contar.
Publicado por Karlos Zurutuza.

Un jabalí, una lanza para cazarlo y un sílex para despellejarlo. La cesta de la compra semanal en el Paleolítico sería algo así. De acuerdo, habría también un puñado de moras, o de castañas; muchas o pocas, pero daba igual cuántas. Un puñado. Fueron aquellos benditos miles de años en los que no había ni historia, ni prácticamente ninguna necesidad de contar una cantidad que superara los dedos de una mano. Bastaban unas muescas en un hueso para llevar la contabilidad.

Las cosas se complican cuando ese sencillo depredador que caza y recoge como cualquier otro animal se convierte en productor. Ahora hay que contar, desde berzas hasta vacas y, por supuesto, los litros que estas últimas producen. Ya no se vive de lo que da la tierra sino de lo que uno es capaz de arrancar, ordeñar, exprimir… Llega la hora de actualizar el sistema de muescas. Griegos o egipcios se las apañaron añadiendo símbolos extras (puntitos, barritas horizontales…) a esas marcas. Imaginen las cifras de las pirámides en piedras y esclavos… Los romanos simplificaron el asunto: un palito por cada oveja; una V cuando se llega a cinco y una X para diez, que no es sino lo que forman dos V unidas por la base. Seguimos con la C de centumpara cien y la M de mille para mil, aunque desconocemos los vocablos originales cuyas iniciales eran L (cincuenta) o D (quinientos).

Las cosas habrían sido mucho más sencillas si los romanos hubieran conocido el cero, pero el sistema acabó adaptándose a las crecientes necesidades de una sociedad cada vez más sedienta por contar. Durante la Edad Media era habitual hacerlo en grupos de veinte, algo que, dicen, tiene su origen en contar con los dedos de las manos y los pies. Se cree que la costumbre deriva del comercio: era más sencillo contar grandes cantidades con un sistema vigesimal que con uno decimal (solo con los dedos de las manos). Otra teoría es la que relaciona este sistema con celtas, vascos o georgianos, que siguen utilizando este método. En zonas de Zamora aún se usa un cuatro veintes para ochenta, o duos veintes para cuarenta en Cantabria.

Se cree que el sistema decimal tuvo su origen en la India entre los siglos V y VII, y que llegó a Europa a través de comerciantes árabes, intelectuales o invasores de cualquier estandarte. El español también adoptó el sistema decimal, pero el francés solo lo hizo a medias: las formas antiguas —probablemente de origen celta— como vint et dix (veinte más diez), deux vints (dos por veinte), trois vints (tres por veinte), etc., se sustituyeron por trente (treinta), quarante (cuarenta) y soixante (sesenta), pero dejaron el resto de los números como solían ser en el antiguo sistema hasta hoy. No hay una explicación lógica de por qué los franceses solo transformaron una parte de sus números al sistema decimal, pero es así.

Sea en decenas o veintenas, contar era una necesidad vital para cualquier campesino, artesano o comerciante, pero no así leer. O lo que es lo mismo: uno puede conocer las matemáticas aun siendo analfabeto. Joseph Mazur, un matemático americano, dice que la escritura aritmética precede en más de mil años a la alfabética. Paradójicamente, aprender sistemas numéricos distintos a los dominantes (arábigo y romano) es todo un desafío. Piensen que, en Europa, el georgiano o el griego son dos ejemplos de un puñado de sistemas distintos a los dominantes que se pueden contar con los dedos de una mano.

¿Por qué hablamos tan pocos idiomas numéricos en comparación con los alfabéticos? Si el sánscrito y el latín son las fuentes de las que beben los sistemas numéricos arábigo (también llamado indoarábigo) y romano, ¿podemos asumir que cada lengua tuvo alguna vez sus propios símbolos para escribir números? Nadie lo sabe. Los chinos han adoptado el sistema numeral arábigo extendido por todo el mundo, pero armonizando su uso con el de sus propios glifos, que comparten con japoneses o coreanos. También es de base decimal. África es rica en numerales autóctonos como los del antiguo etíope y, ya en América, el ejemplo más conocido de escritura matemática es el los aztecas. Era un sistema vigesimal en el que los números del uno al diecinueve se representaban con puntos y rayas, y el veinte con una bandera que se repetía para representar cantidades mayores. Y, a diferencia de los romanos, conocían el cero.

En Europa ya hemos mencionado el griego o el georgiano, pero también podríamos buscar en el ogham, que es como se llamaba el antiguo alfabeto de los irlandeses. Se conservan hasta cuatrocientas inscripciones en piedra de este tipo de escritura que se ejecutaba de arriba abajo. La inmensa mayoría de ellas recogen nombres de individuos, pero no números. No hay por qué pensar que los celtas insulares no contaran sus cosas en su propio sistema, aunque tampoco se puede descartar que conocieran ya el alfabeto latino cuando inventaron el suyo. Sin ir más lejos, los vikingos se inspiraron en los números romanos a la hora de grabar sus runas.


Números gagauz, del libro Gagauz yortulari, adetleri, siralari, p. 9. Vía European studies blog (British Library).
Nos quedaremos con el muchísimo menos conocido caso de los gagaúzos, una minoría de habla turca y religión cristiana ortodoxa cuyos aproximadamente 150 000 miembros viven principalmente en el sur de Moldavia. Hasta mediados del siglo XX la suya era una lengua perseguida que, como tal, apenas se escribía. Los terremotos de la geopolítica los llevaron a declarar la independencia de Moldavia en 1991, pero casi no tenían territorio físico sobre el que plantar su bandera. Durante el impasse, pasaron del alfabeto cirílico al latino que usan a día de hoy. Su sistema numeral es el arábigo, pero parece que no siempre fue así. Hace cien años, un lingüista búlgaro recuperó el código que este desconocido pueblo usaba para contar. En la magnífica ilustración de este artículo pueden encontrar sus cuatro formas básicas (barra vertical, cruz, semicírculo y círculo). El símbolo para el cien representa el valor más alto de un solo icono, lo cual puede sugerir una base decimal aunque el código se acabe articulando en base vigesimal. Se lee de izquierda a derecha y se forma de tres maneras: sumando, multiplicando por símbolos adyacentes, o por la combinación de ambas. Por ejemplo, la suma se aplica hasta cuatrocientos noventa y nueve, la multiplicación para quinientos y mil y la combinación a partir de seiscientos.

Los gagaúzos, que ya hemos dicho antes que son muy pocos, están perdiendo su lengua frente a las dominantes en la zona y probablemente ya no quede ninguno que sepa escribir los números como sus antepasados. Lingüistas como Karl Menninger clasifican la escritura matemática gagaúza como «numerales para campesinos»; símbolos que una persona analfabeta puede identificar y reproducir fácilmente. En su extremada sencillez recuerdan a los glifos que los tuareg llevan grabando en la arena del desierto desde hace más de dos mil años para contar camellos, dunas o estrellas. Irradian esa belleza primigenia y atemporal; hay algo atávico en ellos que nos reconecta con los tiempos en los que todo estaba aún por contar.

https://www.jotdown.es/2019/04/contar-antes-de-contar/
 
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Las asombrosas fórmulas matemáticas desarrolladas por un profesor español
El zaragozano Jesús Guillera plantea problemas que recuerdan a los del genial matemático indio Ramanujan



A todo el que se haya acercado alguna vez a algún artículo o libro de matemática recreativa o de divulgación seguramente le suene el nombre de Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920). Si no es así, indicaremos brevemente que nació en Erode, localidad al sur de la India, perteneciente en ese momento al Imperio Británico, en una familia muy humilde.

Desde pequeño mostró un interés y capacidad para las matemáticas, la mayor parte de las cuales las aprendió por su cuenta, de un modo autodidacta, leyendo los escasos libros que le prestaban. Sin una educación matemática formal, comenzó a escribir fórmulas y resultados en unos cuadernos, que fueron vistos por los matemáticos de algunas instituciones de su entorno para los que resultaban totalmente incomprensibles, ya que se describían sin desarrollo lógico alguno.


En la imagen se describen dos desarrollos en serie para el cálculo de aproximaciones del número π, ideadas por Ramanujan en 1910, y posteriormente publicadas en Inglaterra en 1914.
De forma eventual empieza a trabajar como contable en Madrás, trabajo que le resultaba sencillo, lo que le permitía seguir pensando en las matemáticas que él quería. Aconsejado por sus superiores y compañeros decide escribir a matemáticos británicos de relevancia, enviándoles algunas de sus fórmulas y resultados. Muchos no le responden, pero uno de ellos, Godfrey H. Hardy, apoyado por su colega John E. Littlewood quedan profundamente sorprendidos, deseando conocer de primera mano cómo ha llegado a tan sorprendentes expresiones. Y, no sin dificultades, consiguen que Ramanujan se traslade a Inglaterra. Allí, las cosas no serán nada sencillas (estalla además la I Guerra Mundial e Inglaterra queda aislada): no hay demostración alguna de aquellos resultados, y su descubridor sostiene que le fueron revelados por una deidad familiar de la que es devoto. No es difícil imaginar cómo debieron caer tales afirmaciones en un ambiente rigurosamente académico, y cómo debieron sentirse sus valedores. El choque cultural y de divergentes formas de ser no ayudaría al entendimiento.

Lejos de mejorar, las cosas se complicarían por el estado de salud de Ramanujan (enfermo desde niño, vegetariano y sin poder nutrirse adecuadamente con alimentos frescos por culpa del bloqueo), la tensión personal de no estar ni comunicarse con su familia, etc., lo que no debió facilitar su estancia fuera de su país. Tras cinco años en Inglaterra, regresa a su país en 1919, y un año después, fallece a los 32 años. Recientemente se han estrenado dos largometrajes sobre su vida, una coproducción indo-británica de 2014 titulada «Ramanujan», no estrenada en nuestro país, y «El hombre que conocía el infinito»sobre este singular matemático.

La singularidad de estos trabajos y la peculiar manera de hallarlos, su propia existencia, la dificultad en la comprensión de los apuntes legados en sus cuadernos, han conformado un halo de misterio y romántica leyenda en torno a la figura de este matemático. Una historia única, que tuvo la fortuna de ser conocida, como otras existencias en las más diversas disciplinas (literatura, arte, ciencia, etc.). Seguramente otras muchas hayan tenido lugar a lo largo de la historia, pero no han perdurado.

También en España
Salvando las distancias, y las épocas, hay al menos una persona que ha desarrollado fórmulas parecidas (pero diferentes) a las de Ramanujan y que también proporcionan decimales del número π con una notable “velocidad de convergencia”. Entrecomillo esta expresión porque tendríamos que matizarla de forma rigurosa, pero la utilizo porque creo que es la que mejor ilustra lo siguiente: en cada iteración, o sea, en el cálculo de cada nueva aproximación, se añaden (aproximadamente) un número fijo n de cifras decimales correctas. Cuanto mayor sea ese n, más rápida es la convergencia.


Jesús Guillera
Se trata del profesor zaragozano Jesús Guillera (nacido en 1955). Se licenció en Ciencias Físicas en la Universidad de Zaragoza, impartiendo clase en institutos de bachillerato y enseñanza secundaria. En el año 2007 finaliza su tesis sobre artículos que ya le habían publicado, siendo editada en español en formato de libro. Dicha tesis mereció la calificación de Sobresaliente Cum Laude, obteniendo además un Premio Extraordinario. Sus directores fueron la doctora Eva Gallardo Gutiérrez, especialista en espacios de Hardy, y el matemático ruso Wadim Zudilin, que en 2001 recibió, precisamente, el distinguido premio de la sociedad Hardy-Ramanujan. Recientemente, Jesús ha sido nombrado Colaborador Extraordinario del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza.

El pasado 4 de abril, Jesús fue invitado por el catedrático Doron Zeilberger de la Universidad Rutgers (Nueva Jersey, Estados Unidos) a impartir allí una conferencia.

Zeilberger ha recibido múltiples reconocimientos por sus contribuciones en el desarrollo de la Teoría WZ, que ha revolucionado el trabajo con las series hipergeométricas, entre ellas la medalla Euler (2004) por la utilización de ordenadores y algoritmos en la investigación eficiente de las matemáticas. Es por tanto una gran personalidad en este campo, lo que a su vez prestigia el trabajo y los logros de nuestro compatriota. A su regreso mantuvimos una amigable conversación telefónica y hablamos de su trabajo, entre otros asuntos:

-Cuando uno escucha que no hay explicación a sus fórmulas, pero comprobamos que funcionan, resulta cuanto menos chocante. Es difícil pensar que expresiones tan complejas se hayan obtenido mediante ensayo-prueba-error. ¿Ha sido así en realidad?

-Una de las más recientes ramas de las matemáticas es la que se conoce como “Matemáticas Experimentales”. Su objetivo es desarrollar algoritmos eficientes para descubrir e incluso para demostrar fórmulas, y también naturalmente hacer uso de ellas como si fueran “cajas negras”, es decir, sin que necesitemos saber cómo funcionan internamente. Uno de sus métodos más celebrados son los algoritmos para encontrar relaciones enteras entre ciertas cantidades numéricas. Observando el aspecto de las series de Ramanujan para 1/π pude intuir el aspecto general que debería tener una serie para 1/π^2. Además, resulta que tanto las fórmulas de Ramanujan para 1/π como las mías para 1/π^2 se pueden descomponer en dos y tres series, respectivamente, multiplicadas por ciertos números enteros. Y esos números enteros se pueden descubrir con algoritmos de búsqueda de relaciones enteras y, sison suficientemente pequeños comparados con la precisión numérica con la que operemos, entonces es muy probable que los mismos números enteros sean válidos con independencia de la precisión, y entonces habremos descubierto una fórmula que es muy posible que sea cierta. Una vez descubierta se pueden comprobar muchos más decimales directamente, pero esto tampoco constituye una demostración ya que no hay muchos, sino infinitos. Así que la demostración hay que hacerla con otras técnicas.


Series alternadas desarrolladas por Jesús Guillera en 2002 y 2003, respectivamente, tipo Ramanujan. La primera la demostró mediante el método WZ, la segunda, obtenida mediante un algoritmo de relaciones enteras, aún no ha sido probada.
- ¿En qué consiste el método Wilf y Zeilberger (WZ)?

- Averiguar la suma exacta de una función g(n) para todos los valores naturales de n suele ser en principio muy difícil. La idea de Wilf y Zeilberger para obtener la suma de ciertos tipos de funciones g(n) consistió en encontrar una función G(n, k) tal que G(n, 0) = g(n) y cuya suma para todos los valores de n fuera independiente del parámetro libre k. Lo que hace el algoritmo WZ es certificar aquellas funciones G(n, k) que tienen esta propiedad, y lo hace hallando una función compañera F(n, k) que nos da la llave de la demostración, y se basa en que el par WZ de funciones (F, G) satisface las siguientes propiedades:


Además el algoritmo está programado para ser usado por ordenador por lo que la función F(n, k) se obtiene de forma automática. Para completar la demostración de una fórmula sólo hay que determinar el valor de esa suma constante y en algunos casos la manera más sencilla de hacerlo es tomando el límite cuando k tiende a infinito. En resumen, lo difícil es descubrir una función G (n, k) adecuada, pero si la encuentras la demostración de la fórmula es automática. Es por ello que hallar pares WZ interesantes es algo muy preciado y por ello suelo decir que son verdaderas joyas matemáticas. Pues bien, utilizando el método WZ he conseguido demostrar hasta ahora cuatro fórmulas para 1/π^2 (dos en el año 2002, otra en 2003 y una más en 2010).

- ¿Cree que podría existir un tipo concreto de series infinitas, entre las que estarían las suyas y las de Ramanujan, que aproximarían π con cada vez más decimales correctos en cada iteración? ¿Se estabilizaría ese orden de precisión en algún momento? ¿Qué avances conoce en este sentido que se hayan hecho?

-Las series de Ramanujan para 1/π son sumas de números racionales (aunque se admite un factor global algebraico), o bien de números irracionales pero algebraicos. Hay 36 series racionales de tipo Ramanujan y la más eficiente es la descubierta por los hermanos Chudnovsky (David y Gregory) en la que cada sumando contribuye con 14 decimales correctos. Pero si consideramos también las series irracionales entonces hay una infinidad de ellas. El problema es que, aunque existen series en las que cada sumando contribuye con un número de decimales tan grande como queramos, estas series no son tan amigables y algunas pueden contener números algebraicos muy complicados e incluso sin expresión en forma de radicales. En lo que se refiere a mis fórmulas hay una diferencia crucial con las de Ramanujan y es que parece que sólo puede haber un número finito de ellas y sólo una irracional.

- A nivel personal, ser citado en publicaciones de tanto prestigio y por investigadores de ese nivel, tiene que constituir una satisfacción impresionante. ¿Le ha cambiado en algo su vida personal unos hallazgos de esta importancia?

- Sí, naturalmente. Además, otros matemáticos encontraron conexiones de mis fórmulas con diversas ramas de las matemáticas, por ejemplo, en Teoría de números, en Geometría algebraica y en Geometría aritmética; en temas tan interesantes como supercongruencias, q-análogos, variedades de Calabi-Yau, motivos hipergeométricos, etc. Sin embargo, no ha habido progreso en lo que se refiere a demostrar mis fórmulas con otros métodos y la mayoría de ellas permanecen sin demostración, aunque nadie duda de que sean correctas.

También yo me he embarcado en el estudio e investigación de la nueva familia de fórmulas desde diversos puntos de vista y continúo trabajando en ello. Un reto importante es entender la nueva familia de forma global. Recientemente he conseguido también avances relacionados con las series alternadas de Ramanujan para 1/π, demostrando algo que se creía imposible: que el grado de las ecuaciones modulares que se requiere para deducir estas fórmulas es mucho menor del que se venía utilizando.

- En los últimos tiempos, hay un interés creciente por conocer las matemáticas (y la ciencia en general) fruto de la cual son tantas publicaciones, páginas web, secciones en prensa tradicional, incluso programas de radio y televisión, etc., en nuestro país (y otros). ¿Qué opina sobre ello? ¿Cree que es una moda pasajera, o realmente piensa que la sociedad se ha empezado a dar cuenta de que estos asuntos tienen interés y futuro?

- La divulgación científica de la Física, Química, Medicina, Genética, etc., resulta atractiva a muchas personas, pero divulgar matemáticas es muy difícil sin incluir fórmulas, y si se incluyen, parece que muchas personas se asustan. Pero bueno, siempre puede haber algunas personas, aunque sean pocas, que aprecien la belleza de las buenas matemáticas y sientan interés en aprender más. Además, hoy hay más medios que nunca debido a la cantidad de información que hay en web y al potente software matemático disponible. Y buenas páginas web enlazan a buenas páginas, pero ¡cuidado!, también hay malas.

- He leído que, en su caso, las matemáticas le sirvieron de un modo terapéutico de válvula de escape y recuperación de la ilusión en unos momentos personales difíciles. ¿Cómo fue acudir a esa opción, y no a la literatura, el cine, en fin, otras menos complicadas? ¿Por qué no la Física, dada su formación? ¿Por qué las matemáticas?

- Para comprobar teorías de la Física hay que hacer experimentos que no se pueden llevar a cabo en casa. Si estudié Físicas es porque un primo mío me regaló un libro de divulgación y quedé fascinado con lo que leí sobre la teoría de la relatividad de Einstein. Pero siempre me he sentido muy atraído por las Matemáticas y además son imprescindibles para entender bien la Física y otras Ciencias. Otra cosa que facilita la investigación en Matemáticas es que sólo se necesita papel, lápiz y un ordenador. En unos momentos difíciles me puse a leer un libro que me había comprado sobre el número π. Pensé que sería entretenido leer todo lo que se sabía sobre este número. Con lo que yo había estudiado en la carrera y también por mi cuenta pude comprender con facilidad casi todas las fórmulas del libro. Pero cuando vi las de Ramanujan me sentí perplejo, quedé impresionado y pensé: ¿Pero de dónde salen estas fórmulas? Son impresionantes y quiero llegar a entenderlas. Como en el libro había buenas direcciones web, pude ir estudiando y aprendiendo todo lo que pensaba que podría servirme para llegar a entender las fórmulas de Ramanujan.

Jesús Guillera también ha desarrollado algoritmos del tipo de los ideados en 1987 por los hermanos Borwein (Jonathan y Peter), que aproximan el valor de 1/π mediante sucesiones. Son métodos mucho más “potentes” que los del tipo Ramanujan o Chudnovsky porque en este caso el orden de convergencia es mayor: en cada aproximación, el número de dígitos correctos se multiplica (en lugar de sumarse) por un factor. Concretamente, el algoritmo de Borwein es de orden cuártico, es decir, si en la segunda etapa (o iteración), por ejemplo, tenemos ya 7 decimales correctos, en la siguiente se alcanzarían los 28 (salvo quizá el último o los dos últimos debido a posibles errores de redondeo, truncación o simplificación), en la siguiente los 112, y así sucesivamente, lo cual establece una convergencia muy rápida. Lo que logró el profesor Guillera en 2008 es hallar una generalización de ese método. Describimos simplemente en qué consiste: a partir de las sucesiones c n y d n siguientes


define una tercera, a n


que converge al valor


En el caso particular de w = 1, es el método de Borwein.

A ojos de cualquiera seguramente parezcan expresiones incomprensibles, imposibles de alcanzar. Evidentemente detrás de ellas hay muchas horas de trabajo y estudio, pero como el profesor Guillera ha puesto de manifiesto, perfectamente asequibles, y también en nuestro país. El talento no está limitado por nada. Recordemos que la mayor parte de su trayectoria profesional ha sido como docente en enseñanzas medias, y a este tipo de investigaciones se ha dedicado después de jubilarse, de modo que, además, nunca es tarde para pensar y aportar en matemáticas, echando abajo ese “mito” de que el matemático (y el científico) da todo lo que puede de sí sólo hasta los cuarenta años. Les recomiendo que se acerquen a su detallada página web si quieren conocer más detalles sobre sus trabajos.

Agradezco al profesor Guillera su enorme amabilidad y disponibilidad que me ha permitido compartir con todos ustedes su excepcional trabajo, que ojalá les inspire y anime a seguir su ejemplo.

https://www.abc.es/ciencia/abci-aso...as-profesor-espanol-201904290221_noticia.html
 
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El problema con el que Federico II retó a uno de los matemáticos más asombrosos de la Historia
El excéntrico emperador convocó un torneo matemático público para comprobar cómo se las arreglaba el genial Fibonacci
El gúgol y otras cantidades matemáticas gigantescas
Actualizado:17/06/2019 09:54h

Hace unas semanas hablábamos de uno de los certámenes que se celebran a lo largo de todo el mundo para detectar jóvenes con altas capacidades científicas y así poder orientarlos, si lo desean, con vistas a su futuro profesional. Como no dejan de ser chavales de corta edad, estos eventos suelen ir acompañados de otras actividades lúdicas y festivas, no sólo conferencias, pruebas, etc., de hecho, esas últimas suelen presentarse tipo concurso, juego, algo ameno en la medida de lo posible. Era Odisea de la Mente, y aparecía en la película «El pequeño Tate» (Jodie Foster, EE.UU., 1991). Se trata de un programa de educación internacional que promueve oportunidades para la resolución creativa de problemas para estudiantes desde educación infantil hasta universitaria. No es, sin embargo, un evento específicamente matemático sino más orientado a la ingeniería: los retos planteados van desde construir aparatos mecánicos hasta la presentación de su propia interpretación de los clásicos de la literatura. Como en las Olimpiadas matemáticas, primero compiten en su localidad, luego a nivel regional, después a nivel nacional y por último acceden a las finales mundiales. Aunque surgió hace cuatro décadas en los EE.UU. (fue creada por Samuel Micklus, profesor emérito de la Universidad de Rowan en New Jersey, en 1978), en la actualidad participan cerca de 25 países de todo el mundo (España no participa: las finales son en los EE. UU., y queda un poco lejos).

Sirva esta referencia (otras serían las Olimpiadas Matemáticas, o a otro nivel, el Canguro Matemático) como ejemplo de torneo matemático. Aunque creamos lo contrario, estas modalidades no son una ocurrencia actual. Retrocedamos al siglo XIII, a la corte del “peculiar” emperador del Sacro Imperio Romano Germánico, Federico II. Si echan un ojo a sus andanzas descubrirán un personaje tildado de excéntrico -de hecho se le apodó stupor mundi-que, según las crónicas, pasaba completamente de las ideas medievales predominantes, dominaba nueve lenguas y escribía en siete de ellas. Además, gustaba de la poesía, la filosofía, la astronomía, las matemáticas, la medicina y las ciencias naturales, algo que no encajaba en su época, bullidora en intrigas políticas y en meterse en guerras por conquistar territorios como fuera (lo mareaban para que organizara una nueva cruzada para recuperar los lugares sagrados). Cuando se puso a ello, tuvo fuertes desavenencias con el Papado, cuya forma de actuar consideraba el origen de muchos de los males del momento, motivo por lo que fue calificado incluso de Anticristo. Tuvo tiempo además para tener tres esposas, un montón de amantes, y una descendencia amplísima, entre hijos legítimos e ilegítimos. En fin, todo un personaje.


En el año 1225, Federico II pasaba por la ciudad italiana de Pisa. Sabía que allí vivía un experto en cálculos apodado Fibonacci, y quiso conocerlo personalmente y, sobre todo, observar cómo se desenvolvía, si esa fama que lo precedía era o no justificada.

Ver esta entrada anterior del ABCdario). Si recuerdan la reseña que dediqué a Omar Khayyam, éste utilizaba argumentos geométricos para intentar resolver este tipo de ecuaciones, valiéndose de sus conocimientos de las curvas cónicas. Básicamente reducía la ecuación de grado a cambio de introducir una nueva ecuación (la de una cónica). Leonardo de Pisa, que tal era el nombre de Fibonacci, se apoyaba en lo que Euclides manifestó en el libro X de sus Elementos, prácticamente el único tratado de carácter matemático conocido universalmente en aquel momento. Retomemos la ecuación cúbica que comentamos allí


y que se planteaba en la película que nombramos al inicio de estas líneas. La idea es empezar suponiendo que la ecuación tiene solución natural (los enteros negativos aún no se consideraban soluciones aceptables), si no la encontramos por simple tanteo, pasamos a suponer que es racional (es decir de la forma m/p, con m y p números naturales primos entre sí), y después sucesivamente con números de la forma


y llegar, o bien a una contradicción, o bien, a una solución.

En realidad, con la ecuación ejemplo, Fibonacci llegaría rápidamente a una solución, ya que, aun no dándose cuenta de que x = 5 fuera una solución, si suponemos que es racional, o sea de la forma x = m/p, al sustituir se tiene que


Es claro que la igualdad se verifica si m = 5p (lo que nos lleva a que m/p = 5, que es solución) o si m² + 10 mp + 8 p² = 0, ecuación de segundo grado cuyas soluciones resultan ser m = p (sqrt(17) – 5), m = – p (sqrt(17) + 5), es decir las otras dos raíces.

Sin embargo, para la ecuación que le plantearon a Fibonacci, no llegaríamos a ninguna parte. Veamos:


Desde luego, solución entera no tiene, porque si sustituimos x por 1, obtenemos un número negativo, –7, y si lo hacemos por x = 2, nos da 16. Aunque el teorema de Bolzano no se había “descubierto” aún, ni la representación gráfica de una función, “parece” que la raíz tendrá que estar entre 1 y 2, siendo por tanto un número racional. Pero si hacemos lo mismo que en el caso anterior, la expresión a la que llegamos es


Si esa expresión tuviera solución, el numerador tiene que ser múltiplo de p³ , y por tanto múltiplo de p. Como los dos últimos sumandos del numerador son múltiplos de p, para que el numerador entero sea múltiplo de p, también debe serlo m³ . Entonces m/p sería un número entero llegando a una contradicción con que era un número racional. A razonamientos similares llegamos con el resto de sustituciones. No es extraño ya que la solución es


y las otras dos son complejas conjugadas. Fibonacci no llegó a esta solución, pero dio una aproximación en términos de fracciones sexagesimales


La solución real en modo aproximado es 1.368808107826056, y la de esta fracción es 1.368807876371827, es decir, seis cifras correctas. Lo curioso es que no se conoce cómo llegó a tal solución. No debemos pues subestimar los conocimientos del pasado, ni siquiera del medievo.


Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1503)
Leonardo de Pisa, Fibonacci, era ya mayor en esa época (en torno a los cincuenta años; Federico II apenas llegaba a la treintena), y su fama estaba justificada por la enorme difusión e influencia del Liber Abaci, el tratado sin duda más importante de toda la Edad Media, en el que introduce los número indo-arábigos en Europa. Como seguramente el lector conocerá, Fibonacci fue también responsable de la famosa sucesión que lleva su nombre (1, 1, 2, 3, 5, 8, …, cada número es suma de los dos anteriores) presente en muchos fenómenos de la Naturaleza.

Otros torneos muy populares en la Edad Media y el Renacimiento fueron los duelos entre algebristas (o algoristas) y abacistas. Son populares algunos grabados que así lo confirman, como la llamada Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1503) o los de Adam Riese, también del siglo XVI que servían como ilustraciones de los textos de aritmética.

Por cerrar otros frentes abiertos, la altura de Beatriz, en la cuestión propuesta en mi última entrada, era en efecto la C, 143 cm., y el razonamiento de los lectores, es correcto.


Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.

Original y vídeo:
https://www.abc.es/ciencia/abci-pro...asombrosos-historia-201906170117_noticia.html
 

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Sebastià Xambó, una vida en el árbol de las matemáticas
La Real Sociedad Matemática Española otorga la medalla 2019 al profesor emérito de la UPC para reconocer su trayectoria

El profesor Sebastià Xambó en una pizarra de la Facultad de Matemáticas y Estadística esta semana (Kim Manresa)
DAVID DUSSTER, BARCELONA
29/06/2019 02:09
Actualizado a 29/06/2019 07:38


Los problemas matemáticos pueden tardar décadas o siglos en resolverse, como la hipótesis de Rieman, pero la solución, cuando se encuentra, es para siempre, a diferencia de lo que sucede en otras ciencias como la física, donde una teoría va evolucionando con el paso del tiempo. Esa exactitud provoca un gozo intelectual que, en palabras de Sebastià Xambó, profesor emérito de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), es la única recompensa que precisa el ejercicio del deber matemático.

Ese disfrute, la convicción de que las investigaciones matemáticas son intrínsecamente valiosas y que el lenguaje matemático es primordial para las ciencias e ingenierías son las motivaciones de una trayectoria, la de Sebastià Xambó, de 74 años, que ha sido reconocida esta semana con la entrega de las medallas 2019 de la RSME (Real Sociedad Matemática Española) junto a los catedráticos Marisa Fernández y Jesús María Sanz.

Xambó cree que en el mundo actual hay mucha más presencia de las matemáticas en la vida cotidiana

La visión pedagógica y divulgativa han sido esenciales en el recorrido de Sebastià Xambó, tanto desde la docencia universitaria como a través de iniciativas como el Árbol de las Matemáticas, una página web con biografías de las más destacadas eminencias que ha dirigido personalmente desde su creación en el 2014, o como en Imaginary, una exposición itinerante que transformó complejas fórmulas matemáticas en un limón, una manzana o un cruasán, y de la que fue comisario.

Experto en geometría algebraica y responsable del comité organizador del Congreso Europeo de Matemáticas que se celebró en Barcelona hace casi veinte años, Sebastiá Xambó confiesa su pasión por las matemáticas desde que estudió secundaria. gracias a la influencia de maestros y profesores pero sobre todo a que era “era una disciplina que ayudaba a comprender y que permitía resolver problemas”.

“La admiración por Gauss, Einstein y otros se había fraguado ya durante los dos últimos cursos del bachillerato en mi intento de comprender qué eran las geometrías no euclidianas y la relatividad y aquella admiración me ha acompañado toda la vida”, añade. Xambó encuentra tiempo para atender a La Vanguardia pese a que esta semana ha estado en Santander para participar en un seminario sobre Lluís Santaló (1911-2001), una de las mentes matemáticas más brillantes de Catalunya que tuvo que exiliarse con la guerra civil.

Los tiempos han cambiado mucho desde que comenzara su carrera de profesor titular en la Universitat de Barcelona en 1982. Más de tres décadas después, Xambó se declara todavía fascinado por “el enigma de porqué una construcción mental como las matemáticas, que algunos pueden considerar una evasión de la realidad, da la mejor cuenta de esa realidad”.

Expresidente de la Sociedad Catalana de Matemáticas, Xambó admite que en la actualidad asistimos a un boom espoleado por “el acceso rápido y dinámico a la información y la disponibilidad de potentes programas y máquinas de cálculo”, pero matiza que “el factor crítico sigue siendo el pensamiento creativo pues, para mentes geniales como la de Santaló, trabajar con la máquina de escribir no representó ninguna merma significativa a su admirable productividad”.

Sebastià Xambó cree que las matemáticas siempre han sido fundamentales en áreas como la astronomía, la mecánica o el electromagnetismo, pero que en el mundo actual “su presencia es más manifiesta en la vida cotidiana”. Ese mundo actual se reconoce por “la ubicuidad de los algoritmos y el hecho de que las matemáticas son la base para formularlos y para establecer su corrección”. Y eso se traduce en una mayor necesidad de un ejército de programadores.

Otro aspecto distintivo de la sociedad actual es la utilización y la recopilación de datos y su sustrato matemático. “La evolución científica y tecnológica muestra una tendencia hacia la abstracción, que es otra manera de decir hacia las matemáticas”, resume.

Pese a que a principios de este siglo fue uno de los interlocutores con las autoridades catalanas para reclamar más horas lectivas de matemáticas en la escuelas, Xambó desdeña la idea de que los jóvenes llegan a la universidad menos preparados en esa área precisamente porque no hay datos científicos que amparen esa afirmación, pero se siente optimista respecto a la juventud: “El discurso de que esto va cada vez peor se viene produciendo desde la más remota antigüedad”, dice para restarle importancia.

El profesor emérito tampoco cree que las matemáticas vayan a seguir siendo un dominio más masculino que femenino: “aquí también quiero expresar mi optimismo de cara al futuro. Sin negar la existencia de brechas importantes y de creencias negativas, me es imposible ver la influencia del factor género en la actividad matemática”.

https://www.lavanguardia.com/vida/2...la-real-sociedad-matematica-espanola-upc.html
 
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La razonable efectividad de las matemáticas

publicado por Clara Grima y Enrique F. Borja




En 1960, el físico y matemático húngaro Eugene Wigner, a la sazón premio Nobel de Física por sus contribuciones a la teoría de las partículas elementales, publica un famoso artículo que llevaba por título: «The unreasonable effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences», («La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales»).

En dicho artículo se presenta la maravilla, el milagro, de que la matemática, que se considera una creación propia de la mente humana sin ningún contacto con la realidad, sea tan efectiva a la hora de describir nuestros modelos y teorías en ramas tan dispares como la física, la química, la sociología o la economía. En palabras del propio Wigner:

The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.

(El milagro de la utilidad del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un maravilloso don que ni entendemos ni merecemos).

Ni que decir tiene que el artículo de marras produjo y sigue produciendo una miríada de trabajos y opiniones en uno y otro sentido, ya que, como se puede suponer, este punto de vista pone el acento en un problema fascinante. A saber, ¿cómo es que la matemática sirve para describir el universo si sale de las cabezas de unos monos sin pelo?

No es nuestra intención enmendarle la plana al bueno de Wigner, ni tan siquiera consideramos que estemos a su altura. Tampoco somos inmunes a ese sentimiento de maravilla y fascinación que se siente al descubrir cómo un puñado de ideas matemáticas son capaces de describir fenómenos que van desde el origen del universo hasta la propagación de epidemias en nuestro mundo. Sin embargo, si tomamos un poco de distancia y reflexionamos sobre qué es matemática y qué es física, la relación entre ambas se nos presenta meridianamente clara y natural. Elegimos la física por motivos personales, ya que uno de los autores ha invertido mucho tiempo en ella (y la otra autora es permisiva con esto), pero los argumentos que vamos a presentar son extrapolables a cualquier otro ámbito del conocimiento en el que las matemáticas jueguen un papel fundamental.

Para poder afrontar la discusión sobre la íntima relación entre matemática y física hemos de describir someramente qué es lo que entendemos por matemática. Esta puede parecer una cuestión extremadamente compleja y alambicada. Un tema exigente que requiere vastos conocimientos de este saber humano. Afortunadamente, no es el caso, porque la matemática es en esencia un juego, un juego maravilloso. Y fascinante.

En matemática se definen los elementos del juego, números, conjuntos, funciones, vectores o lo que sea. Luego se definen las relaciones definidas entre dichos elementos, es decir, cómo podemos operar entre esos elementos para encontrar elementos del mismo tipo o de otro tipo permitido. Es a partir de este momento donde el asunto se pone interesante. Todo lo que nos queda por hacer es encontrar todas las cosas que podemos formar con los elementos y las relaciones definidas de forma que podamos decir que son consistentes con las reglas del juego. Eso que los que hacen matemáticas llaman teoremas. Un teorema, por lo tanto, no es más que una afirmación hecha dentro de un ámbito de elementos bien definidos con reglas de relación entre ellos bien definidas que es cierta dentro de ese contexto.

Por ejemplo, desde el colegio se nos ha dicho que los tres ángulos de un triángulo suman 180º. Esa es una verdad absoluta, inmutable, un teorema. Pero lo cierto es que esa es una verdad solo y solo si nuestros triángulos son dibujados en un espacio plano donde se puede asegurar que por un punto exterior a una recta solo puede pasar una recta paralela a ella. Vamos, que es una afirmación que es absolutamente cierta en hojas de papel o espacios similares de más dimensiones, pero que basta dibujar triángulos sobre esferas, la superficie de una pelota, para ver como la suma de los tres ángulos de un triángulo es siempre mayor que 180º. Así que un teorema es una verdad absoluta siempre y cuando las condiciones del teorema sean aplicables.

Así, un teorema no es más que una afirmación de este tipo:

SEAN estos elementos definidos de esta manera y que se pueden relacionar de estos modos. SI hacemos tal y tal cosa permitidas por las reglas definidas, ENTONCES obtendremos tal cosa.

No entraremos aquí en las diferentes estructuras de los teoremas, lo que sí diremos es que un teorema ha de ser demostrable. Es decir, que siguiendo las reglas que nos hemos impuestos ha de ser cierto que de las condiciones del teorema se obtiene la afirmación final del mismo.

En otro orden de cosas, la matemática se entiende como un lenguaje. Los elementos definidos jugarían el papel de las palabras, las reglas definidas, el de las reglas gramaticales correspondientes y, por lo tanto, los teoremas serían las oraciones con sentido dentro de ese lenguaje. Ahora bien, la matemática tiene una característica que la diferencia de cualquier otro lenguaje humano. Sus palabras y sus oraciones no tienen significado asociado. ¿Qué queremos decir con eso?

Pensemos en esta sencilla afirmación matemática:

x+3=5

Desde el punto de vista matemático ahí hay mucho escondido. Para que eso tenga sentido se han tenido que definir los elementos, en este caso números naturales, y se han tenido que definir las relaciones entre ellos con sus propiedades y características. En este caso hemos debido de definir, al menos, la suma de números naturales. Por lo tanto, esa relación nos dice que hay un número de los que hemos definido y que no sabemos cuál es, representado por x, que sumado al número 3 nos da el número 5. Evidentemente, x=2 en este ejemplo tan simple. Pero lo que nos interesa apuntar aquí es que tan solo significa eso, nada más y nada menos.

Y es ahora cuando aparece uno de los aspectos de la magia de la matemática que tanto nos sobrecoge. Si estamos hablando de manzanas, esa expresión significará que dos manzanas más tres manzanas son un total de cinco manzanas. O tal vez estemos hablando de átomos, o de euros, o de niños, o de armarios. Da igual, a la matemática le da exactamente lo mismo el significado que le demos a los elementos de esa expresión, en ella los significados no son importantes, solo es relevante la consistencia de las relaciones.

Es por eso que una misma ecuación matemática la podamos encontrar describiendo el movimiento del polen en suspensión acuosa, el comportamiento de las moléculas de un gas o la evolución de ciertas acciones de la bolsa. Maravilloso, sin duda, pero totalmente razonable.

Aunque en este punto ya estemos clarificando nuestra postura ante el problema de la efectividad de las matemáticas, queda un aspecto fundamental. La cuestión que hemos de responder es cómo la matemática, que se puede considerar como un conjunto de elementos y relaciones entre ellos definidos a nuestro parecer, nos permite describir el comportamiento de sistemas físicos.

La razón también es asombrosamente simple y por ello hermosa y elegante. En física esperamos que, dados los mismos elementos, por ejemplo, cargas eléctricas, en las mismas condiciones siempre se comporten de la misma manera, se atraigan, se repelan, etc. Es decir, que en física tenemos elementos básicos y luego relaciones entre los mismos, y según las relaciones existentes se podrá dar tal o cual fenómeno. Es decir, la física busca regularidades en el universo. Pero ¿qué lenguaje humano es capaz de describir este tipo de situaciones? ¿Qué nos permite definir elementos que se relacionen siempre de la misma manera y que dichas relaciones determinen lo que es posible o no hacer con dichos elementos de forma consistente? La respuesta no será ninguna sorpresa, no es otra cosa que la matemática.

Una afirmación típica en física, y tomaremos un ejemplo de secundaria, es la siguiente:

Cualquier péndulo sometido a oscilaciones pequeñas siempre tarda lo mismo en completar una oscilación cuando está sometido a la misma intensidad de la gravedad y tiene la misma longitud de hilo, independientemente de su masa.

Desde el punto de vista de la física hemos encontrado una regularidad. Sin embargo, a poco que lo pensemos, eso que acabamos de enunciar tiene una pinta asombrosamente parecida a un teorema matemático. ¿Acaso nos puede sorprender que sea la matemática el lenguaje con el que hacemos física? La respuesta ha de ser un rotundo no. Pero hemos de aclarar que, aunque no sea una sorpresa, eso no le resta ni un ápice de poesía y de maravilla.

Para concluir esta reflexión hemos de hacer un comentario sobre un tema que nos parece importante. La relación entre física y matemáticas no es biunívoca, es decir, no hay una identificación entre una teoría física y una teoría matemática. Dicho de otro modo, una misma teoría física que se ocupa de determinados fenómenos suele estar bien descrita por diferentes formulaciones matemáticas. Por ejemplo, una de nuestras teorías físicas más populares, la mecánica cuántica, que también nos parece una cosa caída de los cielos y que atenta impúdicamente contra nuestro tan querido y maltrecho sentido común, se ocupa de los fenómenos más básicos de la física. La constitución de la materia, de qué están compuestos los átomos, cuál es la verdadera naturaleza de las interacciones físicas como el electromagnetismo u otras, el comportamiento de nuevos materiales, etc., todo está descrito gracias a la cuántica. Sin embargo, existen no menos de nueve formulaciones matemáticas diferentes de esa teoría física. Es decir, que como ya hemos dicho, a la matemática le da igual que la apliquemos a la cuántica o a cualquier otra cosa, de hecho, le da igual cuál de sus ramas apliquemos. El caso es que a veces encontramos que distintos conjuntos de elementos con distintas relaciones definidas entre ellos pueden dar cuenta de los mismos fenómenos. Eso, en contra del desperdicio que nos pudiera parecer en un principio, es otro regalo maravilloso porque a veces es más fácil aplicar un campo de las matemáticas que otro a un determinado problema. Lo fantástico es que se puede demostrar matemáticamente que dichas ramas son totalmente equivalentes unas a otras. Es decir, hay diccionarios matemáticos (se habla de relaciones entre teorías, categorías o functores) que demuestran que esas ramas dan resultados idénticos cuando se aplican a describir los mismos fenómenos físicos pero expresados de diferentes formas matemáticas.

Este último hecho nos permite aprovechar una gran batería de resultados y teorías matemáticas bien construidas a la hora de describir nuestro universo. La matemática nos otorga el don de la versatilidad y nos permite afrontar los problemas desde diferentes puntos de vista.

Puede que parezca que en este artículo solo se ha hablado en la dirección de que existe una matemática bien establecida que aplicamos al entendimiento de distintos fenómenos físicos. Sin embargo, a lo largo de la historia la física ha llevado a la matemática a sus límites, y no es un chiste, y ha causado que se hayan de buscar nuevas ramas de la matemática, o ha propiciado nuevos resultados matemáticos y nuevos teoremas en el transcurso de la investigación de un fenómeno físico. El ejemplo más manido es la invención del cálculo infinitesimal por parte de Newton para poder entender el movimiento de los cuerpos y las fuerzas, pero podríamos hacer una larga lista. Eso lo dejaremos para el futuro.

Ahora nos gustaría acabar estas líneas con la siguiente reflexión:

La física es matemática cuando esta se disfraza de universo.

https://www.jotdown.es/2019/07/la-razonable-efectividad-de-las-matematicas/
 

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Una operación matemática, nuevo debate viral en las redes por su ambigüedad
La controversia pone de manifiesto asuntos pendientes a resolver en la computación, la programación y la informática

La operación matemática que se ha hecho viral en las redes (Twitter)
REDACCIÓN
03/08/2019 14:07
Actualizado a 03/08/2019 15:20

Cada poco tiempo, las redes sociales nos sorprenden con un nuevo debate. Normalmente, superfluo. Sin embargo, esta vez podríamos estar hablando de algo importante. Podríamos estar hablando del futuro de las matemáticas y de lo que implican: computación, programación, informática...

La cuestión es que el pasado 28 de julio, Twitter se despertaba con una operación matemática: 8÷2(2+2). A primera vista simple, ¿verdad?


em ♥︎@pjmdolI

https://twitter.com/pjmdolI/status/1155598050959745026

oomfies solve this



14,6 mil

23:56 - 28 jul. 2019
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19,7 mil personas están hablando de esto



Los internautas respondieron. La respuesta era 16. Es el resultado de resolver primero el paréntesis, 2+2. Así, nos queda la siguiente operación: 8÷2×4. Si avanzamos de izquierda a derecha, primero haremos la división, 8 entre 2. 4, otra vez. Ahora ya solo queda multiplicar: 4×4. La respuesta, 16.

Esto es lo que mucha gente pensó. Es lo que pensaríamos en España, pues es el método que nos enseñan los profesores. Pero, ¿habría otra forma de resolverlo? La mitad de Twitter piensa que sí.

Tras resolver el paréntesis y llegar a 8÷2×4, hay quien se plantea qué tendría la prioridad: ¿La división o la multiplicación? Antes habíamos dado la prioridad a la división, que se encontraba más a la izquierda. Pero la multiplicación, al estar junto a un número en paréntesis, podría ser la operación prioritaria. Así, si obtenemos el producto de 2×4 alcanzamos el siguiente escalón: 8÷8. En este caso, la respuesta es 1.

PEMDAS y BODMAS
En Estados Unidos se enseñan dos métodos diferentes para resolver operaciones

Según la convención estándar, la operación se debería resolver de la primera manera. Es decir, la respuesta correcta sería 16. Pero también es verdad que en algunos lugares del mundo, como en Estados Unidos, hay profesores que llegan a confundir a sus alumnos con los métodos de aprendizaje. Es decir, los maestros enseñan dos órdenes diferentes a seguir: PEMDAS y BODMAS.

PEMDAS es la abreviación de ‘Paréntesis’, ‘Exponentes’, ‘Multiplicación’, ‘División’, ‘Suma’ (addition, en inglés) y ‘Resta’ (substraction). Sería el orden mediante el cual obtendríamos 16.

BODMAS es la abreviación de ‘Paréntesis’ (brackets, en inglés), ‘Orden’ (potencias y raíces), ‘División’, ‘Multiplicación’, ‘Suma’ y ‘Resta’. Sería el orden mediante el cual obtendríamos 1.

Opinión de un matemático
Es esencial que todos los que escriben ‘software’ conozcan las reglas

Entonces, he aquí la cuestión importante del asunto. Tal y como reflexiona un matemático en The New York Times , es importante que todo el mundo siga las mismas convenciones. Lo compara con la conducción: en España, todo el mundo conduce por la derecha; en Reino Unido, por la izquierda. Mientras todo el mundo haga caso a la convención del lugar en que se encuentre, todo irá bien. Pero en un mundo globalizado como el de hoy, debería alcanzarse una convención mundial.

El matemático autor del artículo asegura que “es esencial que todos los que escriben software para computadoras, hojas de cálculo y calculadoras conozcan las reglas para el orden de las operaciones y las sigan”. Esto es importante, pues en Twitter aparecieron comentarios mostrando imágenes de diferentes calculadoras que ofrecían diferentes resultados a la operación en cuestión. “Se debería enseñar a todos los jóvenes cómo escribir expresiones matemáticas inequívocas, y todo esto desaparecería”, concluye el profesor.

https://www.lavanguardia.com/vida/2...peracion-matematica-debate-viral-twitter.html
 
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Tito El Gatito - Suma y Resta.

Corto Animado creado para la clase de Television Educativa. El programa esta dirigido al publico preescolar en el ramo de matematicas. Espero que les guste


 
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LOS ESPACIOS HETEROGÉNEOS
Un matemático ha ganado 3 millones de dólares por su "teorema de la varita mágica"
Alex Eskin ha marcado un antes y un después con una teoría que podrá aplicarse a distintos subcampos y que lleva años estudiando






Foto: iStock.


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ADA NUÑO
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10/09/2019



Imagina una habitación totalmente cubierta de espejos, cuyos ángulos siempre sean números enteros, ¿la tienes? Bien, ahora coloca una vela justo en el centro de la misma. Gracias a ello, será posible ver la estancia por completo iluminada, sin un solo rincón oscuro. ¿Te parece sencillo? Pues felicidades, porque has entendido 'El teorema de la varita mágica', con el que el matemático Alex Eskin, de la Universidad de Chicago, en colaboración con Maryam Mirzakhani, de Stanford, ha ganado el premio millonario Breakthrough. Por si te lo estabas preguntando, la varita es la vela.

Los premios Breakthrough fueron fundados en 2013 y son el ejemplo de que, aunque la investigación no es tan agradecida (no solo en España) como, por ejemplo, la interpretación, en ocasiones los científicos pueden obtener reconocimiento por su trabajo y ya de paso generosas sumas de dinero. En concreto: tres millones de dólares. Se otorgan cada año a investigadores en matemáticas, física fundamental y ciencias de la vida, y son los ganadores del año anterior los que deciden quién obtendrá el premio en cada una de estas categorías.

Los teoremas de Ratner manejaban varios espacios homogéneos, él ha tratado de aplicar estas ideas a espacios donde no todos los puntos son iguales

¿Quién es Eskin? Se trata de un matemático nacionalizado estadounidense, de 54 años, aunque nacido en Moscú. Mirzhakani, por su parte, fue una matemática iraní y profesora en la Universidad de Stanford, y la primera mujer que recibió la Medalle Fields o Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas desde que este premio comenzara a otorgarse, en 1936. Se concede cada cuatro años y ella fue galardonada en 2014, desde entonces ninguna otra fémina la ha acompañado en el podio. Desgraciadamente, falleció en 2017 debido a un cáncer, a los 40 años, pero su memoria quedará para las futuras generaciones.

Ambos colaboraron en varias teorías, pero la resolución del Teorema de la varita mágica es algo que obsesiona a Eskin desde que era un estudiante. Por aquel entonces, comenzó a realizar investigaciones relacionadas con una serie de pruebas conocidas como teoremas de Ratner, que la matemática Marina Ratner demostró a principios de la década de los 90 (ella, casualmente, falleció solo una semana antes que Mirzakhani, a los 78 años, y fue profesora en laUniversidad de Berkeley en California).

Una obsesión de toda una vida
Los teoremas de Ratner trataban con espacios homogéneos: "Donde cada punto es como cualquier otro, como si hablásemos de la superficie de una esfera", explicó Eskin, según informa 'Live Science'. Se preguntó si las ideas de Ratner podrían llevarse a espacios de módulos, donde no todos los puntos son iguales. "El Teorema es útil en varias áreas de las matemáticas, la idea de la varita es solo una metáfora, no se trata de un objeto físico real. Es solo un ejemplo para que el gran público pueda entenderlo. Engloba un subcampo muy difícil y me llevó horas explicárselo a los responsables del concurso, doctores en matemáticas que trabajan en distintas áreas". La analogía no podría ser más acertada, aborda distintos subcampos y los resuelve con un mismo sistema, como si de una varita mágica se tratara.

Llevaba obsesionado con los teoremas de Ratner mucho tiempo, pero tuvieron que pasar varios años hasta que finalmente pudiera hacer unprogreso significativo. "Fue cuando conocí a Maryan Mirzakhani. Ella era más joven que yo e investigaba en Princeton, descubrimos que teníamos intereses similares y comenzamos a colaborar, hasta que el proyecto fue haciéndose más ambicioso". No obstante, aún tardaron bastante tiempo en intuir una resolución para el problema que les ha dado la victoria. Él lo comparó con subir una montaña y quedarse estancado en un punto, hasta que un artículo de 2009 de los matemáticos franceses Yves Benoist y Jean-François Quint aportó un poco de luz. "Trataba un ámbito diferente de las matemáticas, pero nos ayudó a dar un nuevo enfoque y a seguir escalando. Estábamos en un barranco, pero teníamos material suficiente para construir un puente sobre él".

El teorema ha marcado un antes y un después. Aborda distintos subcampos y los resuelve con un mismo sistema, como una varita mágica

Al igual que los ganadores anteriores, tiene la intención de donar una suma significativa, pero no tiene ni la más mínima idea de qué hará con el resto del dinero. Solo sabe que su teoría ha marcado un antes y un después en el mundo de las matemáticas. "Es muy frustrante trabajar en este ámbito", explicó, "durante mucho tiempo no progresas. De repente has pasado cinco años enfocado en tu proyecto y no sabes si va a funcionar o no, llevas una gran parte de tu vida invirtiendo en ello y siempre hay una posibilidad de que salgas sin nada... Se necesita mucha estabilidad emocional para poder continuar", concluyó.

https://www.elconfidencial.com/alma...s-teorema-dinero-prueba-varita-magia_2216459/


 
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La melodía de una hipótesis
El sueño pitagórico que acompaña a la ciencia se presenta en nuestros días cada vez que surge la polémica en torno a la Teoría de Cuerdas

MONTERO GLEZ

23 ENE 2020


michio kaku


Michio Kaku, en un congreso celebrado en Barcelona. ALBERT GARCÍA



En algún sitio dejó dicho Leibniz que la música es un ejercicio oculto de aritmética. Pero el pensador alemán no fue el único en percibir la relación.


Al parecer, fueron Pitágoras y sus seguidores los primeros en manejar las claves matemáticas que subyacen en la música. Para ellos, ciencia y música no se podían entender por separado, y explicaron ambas desde su misma esencia: el número y su relación con el universo.

Hasta el siglo VI antes de Cristo, el ejercicio de aritmética permanecía oculto bajo la sucesión de notas, de igual forma que permanece oculto en cada partícula de realidad que nos rodea. Los pitagóricos desvelaron el secreto al descubrir que las leyes armónicas del universo están contenidas en la cuerda de una lira. El número y su conjugación ritual fueron asuntos esenciales a la hora de percibir la melodía perpetua que nos envuelve y que se vino a llamar la música de las esferas.

A mediados del siglo VI a. C. -según la lista contenida en el catálogo de pitagóricos elaborado por Jámblico- la escuela pitagórica estaba compuesta por 224 hombres y 18 mujeres entre las que se encontraba Téano, primera matemática de la Historia. Eran personas de ciencia que se adentraban en la mística sin perder de vista la materia. Una secta hermética sobre la que circulan muchas leyendas; una de ellas es la del oscuro final de Hipaso de Metaponto, que acabó ahogado por desvelar el secreto de los números irracionales. En otra ocasión hablaremos del suceso, ahora sigamos con la escuela pitagórica en su lectura actual.

Porque el sueño pitagórico que acompaña a la ciencia se presenta en nuestros días cada vez que surge la polémica en torno a la Teoría de Cuerdas y su última encarnación, la Teoría M; una hipótesis arriesgada que vendría a ser el eslabón perdido entre la relatividad general y la teoría cuántica, consiguiendo que dos tesis opuestas -por ser una teoría de lo grande y otra teoría de lo más pequeño- formasen un “todo”. Ya dijimos que es una teoría que se nos presenta como nueva pero, en esencia, es tan antigua como el mundo que contemplaron los pitagóricos.

Uno de sus defensores, el físico Michio Kaku la explica de manera sencilla y elegante en su libro titulado Universos paralelos (Atalanta); lo más parecido a un viaje interestelar a través de la historia del universo y donde Kaku conecta lo más grande (Big bang, agujeros negros,) con lo más pequeño (electrón, quarks).

Michio Kaku es físico especialista en teoría de cuerdas. Su fama bestsellera y sus constantes apariciones en programas de radio y televisión, han convertido al físico en una especie de friki a ojos de la comunidad científica. En el libro que aquí nos trae, se nos muestra como defensor de la teoría de cuerdas y de la teoría M, y nos explica que ambas teorías se basan en que la infinidad de partículas que forman el universo es similar a las notas que pueden tocarse en la cuerda de una lira.

Según cuenta, si pudiéramos ver un electrón, sería lo más parecido a una pequeña cuerda vibrante que oscila a diferentes frecuencias y resonancias. Pero lo curioso es que, cada vez que procedemos a tocarla, va cambiando de forma y de tamaño. Como si se tratase de diferentes notas, el electrón se convierte en un quark que, pulsado de nuevo, pasa a neutrino.

Lo que quiere decir que, si las notas musicales son partículas subatómicas, las leyes armónicas entrarían dentro del ámbito de la física. Por otro lado, la química se correspondería con la melodía de un universo que es igual a una sinfonía de cuerdas que resuena desde tiempos antiguos, mucho antes de que Leibniz definiese la música como el placer que experimenta la mente humana al contar sin darse cuenta de que está contando.

El hacha de piedra es una sección donde Montero Glez, con voluntad de prosa, ejerce su asedio particular a la realidad científica para manifestar que ciencia y arte son formas complementarias de conocimiento.

 
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Gazapos matemáticos
Los conejos de Fibonacci y el conejo blanco de Carroll no son los únicos “gazapos” relacionados con las matemáticas



El conejo blanco, según una ilustración de John Tenniel en 'Alicia en el país de las maravillas'.


El conejo blanco, según una ilustración de John Tenniel en 'Alicia en el país de las maravillas'.WIKIMEDIA COMMONS


CARLO FRABETTI

14 MAR 2020

En el homenaje a Raymond Queneau del que hablábamos la semana pasada, hay una gaffe monumental nada menos que en el título del libro. Porque si para cada verso hay 10 posibilidades y el soneto consta de 14 versos, el número total de combinaciones posibles es 10 elevado a 14, o sea, cien billones (un 1 seguido de 14 ceros). El título del libro de Queneau homenajeado es Cent mille millards de poèmes, y de ahí probablemente la confusión. “Millardo” (mil millones) es un término muy poco usado en castellano, y sin embargo es de uso común en francés y en italiano. ¿Por qué? Pista: hay una explicación, en la historia reciente de Francia e Italia, de por qué que en estos países “millardo” es un término coloquial, y no así en España.

Por cierto, el libro de Queneau es fascinante y muy divertido como juguete matemático-literario, pero no es recomendable leerlo entero: dedicándole alrededor de medio minuto a cada soneto, se tardaría unos cien millones de años en leerlos todos.

Otro factor que induce a menudo a error en relación con los números grandes (los que significativamente terminan en “on”), es que en Estados Unidos billion no equivale a billón, sino a mil millones. En cualquier caso, el nivel de “anaritmetismo” habitual entre periodistas, editores y gentes de letras en general es realmente escandaloso. Invito a mis sagaces lectoras/es a cazar y compartir otros gazapos matemáticos en la literatura, el cine y los medios en general.

En cuanto al sonatrón, el cálculo es sencillo: en cada verso tenemos 4 posibilidades: leer solo el primer hemistiquio, solo el segundo, los dos en el orden en que vienen o los dos en orden inverso; y como hay 16 versos, el número total de sonatinas distintas es 4 elevado a 16, más de cuatro mil millones. Un número estrechamente relacionado con el famoso cuento de los granos de trigo y el tablero de ajedrez; ¿por qué? Y sin necesidad de calcularlo, ¿podemos saber cuáles serán las dos últimas cifras de ese número?


Cuadrados perfectos
Tras el precalentamiento de los problemillas anteriores, bastante fáciles, un hueso duro de roer que me ha enviado mi joven amigo Pau, un brillante estudiante de física al que le debo más de una noche de insomnio:
Demostrar que si a² + b² es divisible por ab + 1, el cociente es un cuadrado perfecto.
Y otros dos de cuadrados perfectos, más sencillos, donde Diofanto se encuentra con Pitágoras:
¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo de lados 3, 4 y 5?
Y pasando de lo particular a lo general:
Demostrar que el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de lados enteros es también entero.
Por segmentos enteros se entiende aquellos cuya medida se expresa mediante un número natural; en términos estrictamente geométricos, todos los segmentos son -o están- “enteros”.


Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

 
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El premio Abel reconoce a dos pioneros de la interacción entre probabilidad y álgebra
Hillel Furstenberg y Gregory Margulis reciben el máximo reconocimiento a toda una carrera de la disciplina



YAGO ANTOLÍN|TALIA FERNÓS
24 MAR 2020


Camino aleatorio con 2500 pasos.


Camino aleatorio con 2500 pasos.



Los matemáticos Hillel Furstenbergy Gregory Margulis han sido los ganadores del premio Abel 2020. Se les concede “por ser pioneros en el uso de métodos probabilísticos y dinámicos en las áreas de teoría de grupos, teoría de números y combinatoria.” Lo cierto es que Furstenberg y Margulis nunca han trabajado juntos; es más, ni han vivido en el mismo continente simultáneamente.

Margulis (1946, Moscú) trabajó toda su juventud bastante aislado del resto de la comunidad matemática, víctima de la discriminación que ejercía la Unión Soviética sobre los judíos en esos tiempos. La situación llegó al extremo cuando, en 1978, la Unión Matemática Internacional le concedió la medalla Fields y el Gobierno no le concedió un visado para ir a Helsinki y aceptarla en persona.

Furstenberg también es judío, de hecho es el primer israelí que recibe el premio Abel. Nació en Berlín en 1935, en medio de la ocupación nazi, pero con solo tres años, después de la Noche de los Cristales Rotos, huyó con su familia a los Estados Unidos, donde desarrolló los primeros años de su carrera.

Furstenberg y Margulis, de manera independiente, utilizaron ideas y técnicas probabilísticas similares para estudiar el mismo tipo de objetos matemáticos. No es la primera vez, ni será la última, que varios investigadores descubren el poder de las mismas ideas de manera paralela y en el mismo periodo de tiempo. Quizás el ejemplo más famoso es el del cálculo diferencial, desarrollado simultáneamente en Inglaterra por Isaac Newton y en Alemania por Gottfried Leibniz. A diferencia de aquella agria disputa, es bonito y justo que el premio Abel de este año haga un reconocimiento compartido a dos personas que contribuyeron a desarrollar la matemática con el mismo tipo de ideas revolucionarias.

Las técnicas que Margulis introdujo en su demostración siguen siendo muy importantes hoy en día. Y, sorprendentemente, permitieron descubrir nuevas e importantes propiedades de los grupos de matrices

Uno de los teoremas más famosos de Furstenberg trata sobre los caminos aleatorios en grupos infinitos de matrices. Para entender la noción de camino aleatorio, imaginemos que tenemos un dado (equilibrado) de cuatro caras y un papel cuadriculado (de dimensión 2), infinito. Cada una de las caras del dado representa un movimiento: hacia arriba, abajo, izquierda o derecha. Empezamos en un cuadrado de la libreta, y seguimos el movimiento que van marcando los sucesivos lanzamientos del dado. El resultado es un camino aleatorio.

El matemático George Polya ya sabía, en los años 1930, que un camino así volvería al punto inicial un número infinito de veces, con un 100% de probabilidades. Sin duda, es posible (aunque improbable) que los lanzamientos del dado dicten que la marcha vaya a la derecha para siempre. Esto no contradice la conclusión de Polya, pues si consideramos todos los caminos, es decir todas las posibilidades de movimientos con el mismo punto inicial, la probabilidad de que uno regrese al punto inicial (un número finito de veces) es 0. Polya también sabía que, sin embargo, si repetimos el mismo experimento en una cuadrícula de dimensión 3, la probabilidad de volver al punto inicial un número infinito de veces es 0. Así, el camino aleatorio es capaz de detectar la diferencia entre dimensión 2 y 3.



Imagen fija de los caminos aleatorios.


Imagen fija de los caminos aleatorios.



Furstenberg consideró estos caminos aleatorios no en una cuadrícula, sino en espacios de matrices. La idea es parecida: tomamos un conjunto finito de matrices, por ejemplo, seis matrices A,B,C,D,E, F; y un dado de seis caras, en cuyas caras están escritas la letras A,B,C,D,E,F. Así vamos lanzando el dado y multiplicando matrices de la siguiente manera: por cada lanzamiento multiplicamos la matriz que dicta el dado (a la izquierda) del producto acumulado de las matrices anteriores. Aquí es muy importante el orden, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Como el producto de matrices es de nuevo un matriz, de esta forma, los lanzamientos dan una secuencia de matrices, lo que configura un camino aleatorio dentro del espacio de matrices. Furstenberg estudió su avance y comprobó que, a diferencia de lo que sucedía en la cuadrícula, los caminos aleatorios siempre se alejan y llegan a una frontera asociada a ese conjunto finito de matrices: lafrontera Furstenberg-Poisson.

Por su parte, uno de los teoremas más conocidos de Margulis describe la súper-rigidez de retículos de matrices. Es un resultado de la zoología de los llamados grupos de Lie, que demuestra que cualquier grupo está esencialmente determinado por su esqueleto. Las técnicas que Margulis introdujo en su demostración siguen siendo muy importantes hoy en día. Y, sorprendentemente, permitieron descubrir nuevas e importantes propiedades de los grupos de matrices.

No es la primera vez, ni será la última, que varios investigadores descubren el poder de las mismas ideas de manera paralela y en el mismo periodo de tiempo

Una propiedad de grupos que Margulis utilizó mucho en sus trabajos sobre grupos es la llamada propiedad (T). En 1973, la empleó para ofrecer una construcción explícita de grafos expanders. Un grafo expander es una secuencia de grafos finitos que son uniformemente eficientes y robustos. Imaginemos que una empresa quiere conectar 100 ordenadores entre sí. Lo ideal sería que cada ordenador esté solamente conectado con otros pocos terminales; pero que además sea muy difícil desconectar todo el sistema, es decir, que no haya dos partes grandes separadas por pocas conexiones. Si lo conseguimos, el resultado sería un grafo eficiente (es la primera propiedad indicada) y robusto (la segunda).

El matemático George Polya ya sabía, en los años 1930, que un camino así volvería al punto inicial un número infinito de veces, con un 100% de probabilidades

Antes del trabajo de Margulis, se sabía que si se conectan los vértices de un grafo de forma aleatoria el resultado será eficiente y robusto, con una probabilidad que tiende a 1, cuando el número de vértices crece al infinito. Es decir, la empresa podría conectar los ordenadores al azar y comprobar si ha tenido suerte. Pero probar con todas las combinaciones, solo de 100 ordenadores, requiere cálculos de magnitudes astronómicas. La construcción explícita de Margulis te dice exactamente cómo hacerlo.

Tanto las matemáticas de Furstenberg como las de Margulis utilizan ideas de áreas diferentes y de formas muy sorprendentes para concluir sus teoremas. Leer sus pruebas es como ver una película de suspense, con sorpresas y conexiones inesperadas en cada página.

Yago Antolín es profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT

Talia Fernós es profesora de la Universidad de Carolina del Norte en Greensboro (EE UU).


Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)


 
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